Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
A pergunta é:
é um subespaço vetorial de
? Deve-se justificar a resposta.
Passo 2
Recordando a definição prática de subespaço (sem pressa, passo a passo): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
-
é não vazio (uma forma simples de verificar isso é checar se o vetor nulo pertence a ); -
é fechado sob soma: se e então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: para todo escalar e todo vale .
Se qualquer uma das três falha,
não é subespaço. Vou verificar cada uma (com calma e explicando tudo).
Passo 3
Verificar se o vetor zero pertence a
.
O vetor zero é
. Como
é verdade, concluímos que
. Portanto
é não vazio e passa no primeiro teste.
Passo 4
Verificar fechamento por soma (prova geral).
Sejam
e
. Pelas hipóteses temos
Somando as desigualdades componente a componente (isso é permitido: somar desigualdades válidas preserva a ordem), obtemos
Mas
. Logo
satisfaz a condição de pertencer a
. Assim
é fechado sob soma.
Um exemplo numérico rápido para sentir a ideia: se
e
, ambos têm
; a soma é
e também satisfaz
.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (análise geral e contraexemplo).
Se
então
. Multiplicando por um escalar
obtemos
. Há dois casos importantes:
-
Se
, multiplicar preserva as desigualdades: de segue . Então para escalares não negativos a propriedade é preservada. -
Se
, ao multiplicar por as desigualdades se invertem: a partir de segue (porque multiplicar por número negativo troca o sentido da desigualdade). Assim para geralmente teremos
ou seja, a sequência resultante costuma não satisfazer
, salvo em casos especiais onde havia igualdade entre as coordenadas.
Para concluir que
não é subespaço basta encontrar um escalar
e um vetor
tais que
. Vou dar um contraexemplo simples.
Escolha
. Esse vetor pertence a
porque
.
Escolha o escalar (negativo). Então
Escolha o escalar
Verificamos se
pertence a
: isso exigiria
. Mas
é falso. Logo
.
Portanto
não é fechado sob multiplicação por escalares (falha já para
e o vetor dado).
Passo 6
Conclusão lógica: como
falha em ser fechado sob multiplicação por escalares, não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial de
. Não é preciso procurar mais — uma contraexemplo basta.
Força aí — dá para entender esse tipo de teste com prática: verificar o vetor zero, fechar por soma (muitas vezes fácil) e procurar contraexemplos com escalares negativos se o conjunto envolve desigualdades.
Resposta
Não;
não é subespaço vetorial de
.