2.1-1 (TIMOSHENKO) Qual é a tensão de cisalhamento máxima numa barra circular de 25 mm de diâmetro, sujeita à carga de tração axial \mathrm{P}=80 \mathrm{kN} ?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra circular quando submetida à tração axial de magnitude P=80\\ \text{kN}. Dados fornecidos:
  • Carga axial: P=80\\ \text{kN}=80\,000\\ \text{N}.
  • Diâmetro da seção circular: d=25\\ \text{mm}.
  • Pergunta: calcular a tensão de cisalhamento máxima (valor numérico e unidade).

Passo 2

Calcular a área da seção transversal circular. Fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde A é a área e d é o diâmetro. Substituindo d=25\\ \text{mm}:
A=\frac{\pi\,(25\\ \text{mm})^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 625\\ \text{mm}^{2}}{4}=156{,}25\pi\\ \text{mm}^{2}.
Para ter um valor numérico aproximado:
A\approx 156{,}25\times\pi\\ \text{mm}^{2}\approx 490{,}8739\\ \text{mm}^{2}.

Passo 3

Calcular a tensão normal axial média (tensão de tração) na seção. A tensão normal média é dada por
\sigma=\frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão normal (unidade \text{N}/\text{mm}^{2} que é igual a \text{MPa}), P é a força axial e A é a área. Substituindo P=80\,000\\ \text{N} e A\approx 490{,}8739\\ \text{mm}^{2}:
\sigma=\frac{80\,000\\ \text{N}}{490{,}8739\\ \text{mm}^{2}}\approx 162{,}90\\ \text{N}/\text{mm}^{2}=162{,}90\\ \text{MPa}.
Explicando devagar: essa \sigma é a tensão normal que age perpendicularmente às fibras (no eixo da barra) por causa da tração.

Passo 4

Entender onde aparece tensão de cisalhamento máxima num estado de tração uniaxial. Mesmo com apenas uma tensão normal axial \sigma (e sem tensões cortantes aplicadas diretamente), em planos inclinados aparecem tensões de cisalhamento. A teoria de transformação de tensões diz que, para um estado plano com tensões \sigma_x=\sigma, \sigma_y=0 e \tau_{xy}=0, a máxima tensão de cisalhamento absoluta vale
\tau_{\max}=\frac{|\sigma_{1}-\sigma_{2}|}{2},
onde \sigma_{1} e \sigma_{2} são as tensões principais. No caso uniaxial temos \sigma_{1}=\sigma e \sigma_{2}=0, portanto
\tau_{\max}=\frac{\sigma-0}{2}=\frac{\sigma}{2}.
Breve justificativa física e geométrica (sem formalismo pesado): em uma barra tracionada, os planos a 45^\circ ao eixo sofrem a maior componente de cisalhamento, cujo valor máximo é metade da tensão axial aplicada.

Passo 5

Aplicar a relação \tau_{\max}=\dfrac{\sigma}{2} ao valor encontrado para \sigma. Assim:
\tau_{\max}=\frac{162{,}90\\ \text{MPa}}{2}\approx 81{,}45\\ \text{MPa}.
Unidade: \text{MPa} (que é igual a \text{N}/\text{mm}^{2}).

Passo 6

Resumo prático para a prova (como fazer rápido): calcular A=\pi d^{2}/4, calcular \sigma=P/A, e tomar \tau_{\max}=\sigma/2 para tração uniaxial. Não esqueça de manter unidades consistentes (por ex. P em N e A em mm ^2 para obter MPa).

Resposta

\tau_{\max}\approx 81{,}45\\ \text{MPa}

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