Determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imaagem da função h: M_{2 \times 2} \rightarrow M_{2 \times 2}, definida por h(A)=M A, sendo M=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ -2 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
h\colon M_{2\times2}\to M_{2\times2},\quad h(A)=M\,A,
onde
M=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 2\end{pmatrix}.
Queremos encontrar
1. uma base e a dimensão do núcleo \ker(h),
2. uma base e a dimensão da imagem \Im(h).
O conteúdo envolvido é teoria de transformações lineares, cálculo de núcleo (soluções de MA=0) e imagem (descrição do conjunto de matrizes alcançadas).

Passo 2

Seja
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.
Calculamos
M\,A =\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a-c & b-d\\\ -2(a-c) & -2(b-d)\end{pmatrix}.
Para A estar no núcleo, precisamos de M\,A=0, ou seja
a-c=0, \qquad b-d=0.

Passo 3

Das equações a-c=0 e b-d=0 segue
c=a, \quad d=b.
Logo as matrizes de \ker(h) são
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ a & b\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Uma base de \ker(h) é
\Bigl\{\, \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \Bigr\},
e
\dim\bigl(\ker(h)\bigr)=2.

Passo 4

Para descrever \Im(h), note que ao variar A arbitrário,
M\,A =\begin{pmatrix}x & y\\\ -2x & -2y\end{pmatrix},
onde x=a-c e y=b-d são livres em \mathbb{R}. Logo
\Im(h) =\left\{\begin{pmatrix}x & y\\\ -2x & -2y\end{pmatrix}\colon x,y\in\mathbb{R}\right\} = x\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -2 & 0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.

Passo 5

Uma base de \Im(h) é
\Bigl\{\, \begin{pmatrix}1 & 0\\\ -2 & 0\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & -2\end{pmatrix} \Bigr\},
e pelo teorema da dimensão (nulidade + posto =4) temos também
\dim\bigl(\Im(h)\bigr)=2.

Resposta

Base de \ker(h):
\displaystyle \Bigl\{\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\Bigr\},
\dim(\ker(h))=2.
Base de \Im(h):
\displaystyle \Bigl\{\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -2 & 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & -2\end{pmatrix}\Bigr\},
\dim(\Im(h))=2.

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