Nos exercícios de 01 a 14 abaixo verifique se as funções são lineares.
T: M_{2 \times 2} \rightarrow M_{2 \times 2}, T(A)=X+A, X uma matriz fixada em M_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T\colon M_{2\times2}\to M_{2\times2},\quad T(A)=X+A
onde X é uma matriz fixa. Queremos verificar se T é linear, isto é, se para quaisquer A,B\in M_{2\times2} e escalar c\in\mathbb{R} valem
  1. T(A+B)=T(A)+T(B)
  2. T(cA)=c\,T(A)

Passo 2

Teste da aditividade. Para A,B\in M_{2\times2} temos
T(A+B)=X+(A+B)=X+A+B
enquanto
T(A)+T(B)=(X+A)+(X+B)=2X+A+B.
Logo
T(A+B)\neq T(A)+T(B)
a menos que 2X=X, isto é, X=0.

Passo 3

Teste da homogeneidade. Para c\in\mathbb{R} e A\in M_{2\times2}
T(cA)=X+cA
enquanto
c\,T(A)=c\,(X+A)=cX+cA.
Novamente T(cA)=c\,T(A) só se X=0.

Passo 4

Como nenhum dos dois requisitos da linearidade (aditividade e homogeneidade) é satisfeita a não ser no caso especial X=0, concluímos que T não é linear em geral, mas apenas quando X é a matriz nula.

Resposta

T não é linear, exceto no caso em que X é a matriz zero.

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