Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / 2 x-2 y=0\right. e \left.t+x=z\right\}.

Passo 1

O enunciado define W = \{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \mid 2x - 2y = 0,\; t + x = z\}
e pede uma base e a dimensão de W.
O conteúdo é solução de sistemas lineares para obter parâmetros livres, depois extrair vetores geradores e determinar independência linear.

Passo 2

Escrevendo as equações do sistema: 2x - 2y = 0 implica
x = y,
e t + x = z implica
z = x + t.

Passo 3

Escolhemos como variáveis livres \alpha = x e \beta = t.
Então
y = \alpha, \quad z = \alpha + \beta.

Passo 4

Assim qualquer vetor de W pode ser escrito como
(x,y,z,t) = (\alpha,\alpha,\alpha+\beta,\beta) = \alpha\,(1,1,1,0) + \beta\,(0,0,1,1).
Os vetores (1,1,1,0) e (0,0,1,1) geram W e são claramente independentes.

Resposta

Uma base de W é \{(1,1,1,0),\,(0,0,1,1)\} e \dim W = 2.

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