Determine uma base de \mathbb{R}^{5} que contenha o conjunto \{(1,1,0,0,0),(1,0,1,0,0)\}. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede uma base de \mathbb{R}^5 que contenha os vetores
v_1 = (1,1,0,0,0), \quad v_2 = (1,0,1,0,0).
O conteúdo envolve conceito de espaço vetorial, dimensão, base e como estender um conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) a uma base de \mathbb{R}^5.
Passo 2
Mostramos que v_1\) e \(v_2\) são l.i. Suponha
\[\alpha\,v_1 + \beta\,v_2 = (0,0,0,0,0).
Da segunda equação vem \alpha=0\]. Da primeira segue \(\beta=0. Logo \alpha=\beta=0 e v_1,v_2 são l.i.
Passo 3
Para estender \{v_1,v_2\} a uma base de \mathbb{R}^5, basta acrescentar três vetores que não estejam no span\{v_1,v_2\}. Por exemplo, podemos escolher os vetores padrão nas coordenadas 3,4 e 5: