Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
E: R^{3} \rightarrow R^{2}, E(x, y, z)=(2 x+y, z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
E\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad E(x,y,z) = (2x + y,\;z).
Queremos encontrar uma base de \mathrm{Im}(E) e verificar se E é injetiva. Para isso, usaremos que a imagem de uma transformação linear é o espaço gerado pelas imagens dos vetores de uma base do domínio, e que E é injetiva exatamente quando \ker(E)=\{(0,0,0)\}.

Passo 2

Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
E(1,0,0) = (2,0),\quad E(0,1,0) = (1,0),\quad E(0,0,1) = (0,1).

Passo 3

A imagem de E é o subespaço de \mathbb{R}^2 gerado por \{(2,0),\,(1,0),\,(0,1)\}. Como
(2,0) = 2\,(1,0),
os vetores (2,0) e (1,0) são linearmente dependentes. Assim, uma base de \mathrm{Im}(E) é
\{(1,0),\,(0,1)\},
ou seja, \mathrm{Im}(E)=\mathbb{R}^2.

Passo 4

Para checar a injetividade, estudamos \ker(E)\). Temos \[E(x,y,z) = (0,0) \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} 2x + y = 0,\\\ z = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue y=-2x\], e da segunda \(z=0. Portanto
\ker(E)=\{(x,-2x,0)\colon x\in\mathbb{R}\},
que não é apenas \{(0,0,0)\}. Logo E não é injetiva.

Resposta

Uma base de \mathrm{Im}(E) é \{(1,0),\,(0,1)\}.
A transformação E não é injetiva.

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