Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
E: R^{3} \rightarrow R^{2}, E(x, y, z)=(2 x+y, z)
E: R^{3} \rightarrow R^{2}, E(x, y, z)=(2 x+y, z)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos encontrar uma base de
e verificar se
é injetiva. Para isso, usaremos que a imagem de uma transformação linear é o espaço gerado pelas imagens dos vetores de uma base do domínio, e que
é injetiva exatamente quando
.
Passo 2
Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica de
:
Passo 3
A imagem de
é o subespaço de
gerado por
. Como
os vetores
e
são linearmente dependentes. Assim, uma base de
é
ou seja,
.
Passo 4
Para checar a injetividade, estudamos
Da primeira equação segue
. Portanto
que não é apenas
. Logo
não é injetiva.
Resposta
Uma base de
é
.
A transformação não é injetiva.
A transformação