Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
D: M_{22} \rightarrow M_{22}, D(X)=A X onde A=\left[ \begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
D\colon \mathbb{M}_{2\times2} \longrightarrow \mathbb{M}_{2\times2},\qquad D(X)=A\,X
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Queremos encontrar uma base de \mathrm{Im}(D) e dizer se D é injetiva. O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares (imagem, núcleo e injetividade) e o fato de que multiplicar à esquerda por uma matriz invertível preserva dimensão.]

Passo 2

Calculemos o determinante de A:
\det(A)=1\cdot1-0\cdot1=1\neq0.
Logo A é invertível. Isso implica que, para todo Y\in\mathbb{M}_{2\times2}, existe X=A^{-1}Y tal que AX=Y. Portanto
\mathrm{Im}(D)=\{AX\mid X\in\mathbb{M}_{2\times2}\}=\mathbb{M}_{2\times2}.

Passo 3

Como a imagem de D é todo \mathbb{M}_{2\times2} (que tem dimensão 4), podemos tomar como base o conjunto canônico
\{E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}\},
onde E_{ij} é a matriz que tem 1 na entrada (i,j) e zero nas demais.

Passo 4

O núcleo de D é
\ker(D)=\{X\mid AX=0\}.
Como A é invertível, a única solução de AX=0 é X=0. Logo \ker(D)=\{0\}, o que mostra que D é injetiva.

Resposta

Base de \mathrm{Im}(D):
\{E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}\}.
A transformação D é injetiva.

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