Seja P: R^{3} \rightarrow R^{3} a projeção sobre o plano X Y paralelamente à reta que contém o vetor v=(1,2,3).
a) Determine núcleo e imagem de P.
b) Determine P(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear P\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que projeta qualquer vetor sobre o plano XY (plano z=0) paralelamente à reta de direção v=(1,2,3). Precisamos achar \ker(P), \operatorname{Im}(P) e a fórmula de P(x,y,z).

Passo 2

Para cada (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, escrevemos
P(x,y,z)=(x,y,z)+t\,(1,2,3)
e exigimos que a componente z de P(x,y,z) seja zero. Assim,
z+3t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{z}{3}.

Passo 3

Substituindo t na expressão de P(x,y,z), obtemos
P(x,y,z) =(x,y,z)-\frac{z}{3}(1,2,3) =\Bigl(x-\tfrac{z}{3},\;y-\tfrac{2z}{3},\;0\Bigr).

Passo 4

Da fórmula acima vemos que todo vetor imagem tem terceira coordenada zero. Logo
\operatorname{Im}(P) =\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
ou seja, o plano XY.

Passo 5

Para achar o núcleo, resolvemos P(x,y,z)=(0,0,0), o que dá o sistema
x-\tfrac{z}{3}=0, \quad y-\tfrac{2z}{3}=0.
Daí x=z/3 e y=2z/3, logo
(x,y,z) =z\bigl(\tfrac13,\tfrac23,1\bigr) =\lambda(1,2,3).
Portanto
\ker(P)=\span\{(1,2,3)\}.

Resposta

\ker(P)=\span\{(1,2,3)\},
\operatorname{Im}(P)=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
P(x,y,z)=\Bigl(x-\tfrac{z}{3},\;y-\tfrac{2z}{3},\;0\Bigr).

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