Determine uma base para
S=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z+w=0\right\} .

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma base para o conjunto
S=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y+z+w=0\right\}.
Informações dadas:
  • A condição que define S é a equação linear \;x+y+z+w=0.\n
  • O universo é \mathbb{R}^4, ou seja, vetores de quatro coordenadas (x,y,z,w).\n
  • A tarefa é entregar um conjunto de vetores que seja base de S (ou seja, que gere S e seja linearmente independente).

Passo 2

Estratégia prática (como fazer na prova): resolver a equação que define S isolando uma variável e usar as demais como parâmetros livres. Por exemplo, isolo x:
x = -y - z - w.
Assim, um vetor qualquer de S pode ser escrito substituindo esse x:
(x,y,z,w)=(-y-z-w,\;y,\;z,\;w).

Passo 3

Reescrevo a última expressão como combinação linear das coordenadas livres y,z,w. Colocando y,z,w em evidência:
(x,y,z,w)=y(-1,1,0,0)+z(-1,0,1,0)+w(-1,0,0,1).
Isto mostra que todo vetor de S é combinação linear dos três vetores
v_1 = (-1,1,0,0),\qquad v_2 = (-1,0,1,0),\qquad v_3 = (-1,0,0,1).
Portanto \{v_1,v_2,v_3\} gera S (ou seja, \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=S).

Passo 4

Agora preciso verificar que \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente. Faço a verificação típica: suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
a(-1)+b(-1)+c(-1)=0 \quad\text{(coord. 1)},
a(1)+b(0)+c(0)=0 \quad\text{(coord. 2)},
a(0)+b(1)+c(0)=0 \quad\text{(coord. 3)},
a(0)+b(0)+c(1)=0 \quad\text{(coord. 4)}.

Passo 5

Resolvendo esse sistema:
  • Da coord. 2: a=0.
  • Da coord. 3: b=0.
  • Da coord. 4: c=0.
    Substituindo na coord. 1 dá 0+0+0=0, que está OK. Como a única solução é a=b=c=0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Concluímos: \{v_1,v_2,v_3\} gera S e é linearmente independente, portanto é uma base de S. Como consequência prática, \dim S=3. Na prova, esse procedimento (isolar uma variável, escrever como combinação linear e checar independência) é um método rápido e seguro para encontrar uma base de subespaços definidos por uma equação linear.

Resposta

\{(-1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\}

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