Verifique se os vetores
(1,2,3), \quad(2,4,6), \quad(1,1,1)
são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores (1,2,3), (2,4,6) e (1,1,1) são linearmente independentes.
Informações dadas:
  • Vetor v_1 = (1,2,3).
  • Vetor v_2 = (2,4,6).
  • Vetor v_3 = (1,1,1).
O que precisamos responder: os três vetores formam um conjunto linearmente independente ou dependente?

Passo 2

Definição (explicada bem devagar): um conjunto de vetores \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente se a única forma de escrever a combinação linear
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = (0,0,0)
é com todos os coeficientes nulos, ou seja \alpha=0, \beta=0, \gamma=0. Se existir alguma escolha de \alpha,\beta,\gamma, não todos zero, que satisfaça a equação acima, então os vetores são linearmente dependentes.
Aqui vamos aplicar essa definição: escrever a combinação linear com incógnitas \alpha,\beta,\gamma e resolver.

Passo 3

Escrevendo a equação da combinação componente a componente temos
\alpha(1,2,3)+\beta(2,4,6)+\gamma(1,1,1)=(0,0,0).
Isso gera o sistema de equações escalares (uma por componente):
\begin{cases} \alpha + 2\beta + \gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha + 4\beta + \gamma = 0,\\[4pt] 3\alpha + 6\beta + \gamma = 0. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo, fazendo operações lineares simples (sem pular etapas).
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2\alpha+4\beta+\gamma)-(\alpha+2\beta+\gamma)=0-0 \quad\Rightarrow\quad \alpha+2\beta=0.
Logo
\alpha = -2\beta.
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(3\alpha+6\beta+\gamma)-(2\alpha+4\beta+\gamma)=0-0 \quad\Rightarrow\quad \alpha+2\beta=0,
que é a mesma relação, então não surge nova informação.
Agora substituímos \alpha=-2\beta na primeira equação para achar \gamma:
\alpha+2\beta+\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad (-2\beta)+2\beta+\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
Portanto as soluções do sistema são todas da forma
\alpha = -2t,\qquad \beta = t,\qquad \gamma = 0,
onde t\in\mathbb{R} é um parâmetro livre.

Passo 5

A definição de independência exige que a única solução seja \alpha=\beta=\gamma=0. Aqui encontramos soluções com t\neq 0 (por exemplo, escolha t=1 e obtemos \alpha=-2,\\ \beta=1,\\ \gamma=0) que satisfazem a igualdade. Como existe uma solução não trivial (nem todos os coeficientes são zero), concluímos que os vetores são linearmente dependentes.
Uma observação simples e imediata que confirma isso: v_2 = 2v_1, pois
2\cdot(1,2,3)=(2,4,6).
Isso já mostra dependência linear: basta ver que -2v_1+1v_2+0v_3=(0,0,0).

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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