Determine uma base para
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma base para o conjunto
Informações dadas:
- A condição que define
é a equação linear .\n - O universo é
, ou seja, vetores de quatro coordenadas .\n - A tarefa é entregar um conjunto de vetores que seja base de
(ou seja, que gere e seja linearmente independente).
Passo 2
Estratégia prática (como fazer na prova): resolver a equação que define
isolando uma variável e usar as demais como parâmetros livres. Por exemplo, isolo
:
Assim, um vetor qualquer de
pode ser escrito substituindo esse
:
Passo 3
Reescrevo a última expressão como combinação linear das coordenadas livres
. Colocando
em evidência:
Isto mostra que todo vetor de
é combinação linear dos três vetores
Portanto
gera
(ou seja,
).
Passo 4
Agora preciso verificar que
é linearmente independente. Faço a verificação típica: suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Passo 5
Resolvendo esse sistema:
- Da coord. 2:
. - Da coord. 3:
. - Da coord. 4:
.
Substituindo na coord. 1 dá, que está OK. Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Concluímos:
gera
e é linearmente independente, portanto é uma base de
. Como consequência prática,
. Na prova, esse procedimento (isolar uma variável, escrever como combinação linear e checar independência) é um método rápido e seguro para encontrar uma base de subespaços definidos por uma equação linear.