Determine uma base de \mathbb{R}^{5} que contenha o conjunto \{(1,1,0,0,0),(1,0,1,0,0)\}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede uma base de \mathbb{R}^5 que contenha os vetores
v_1 = (1,1,0,0,0), \quad v_2 = (1,0,1,0,0).
O conteúdo envolve conceito de espaço vetorial, dimensão, base e como estender um conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) a uma base de \mathbb{R}^5.

Passo 2

Mostramos que v_1\) e \(v_2\) são l.i. Suponha \[\alpha\,v_1 + \beta\,v_2 = (0,0,0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 0,\\\ \alpha = 0,\\\ \beta = 0,\\\\ 0 = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha=0\]. Da primeira segue \(\beta=0. Logo \alpha=\beta=0 e v_1,v_2 são l.i.

Passo 3

Para estender \{v_1,v_2\} a uma base de \mathbb{R}^5, basta acrescentar três vetores que não estejam no span \{v_1,v_2\}. Por exemplo, podemos escolher os vetores padrão nas coordenadas 3,4 e 5:
e_3 = (0,0,1,0,0), \quad e_4 = (0,0,0,1,0), \quad e_5 = (0,0,0,0,1).
Como nenhum desses pode ser combinação linear de v_1 e v_2 (por terem entradas não nulas em posições onde v_1,v_2 não as têm isoladamente), o conjunto
\{\,v_1,\,v_2,\,e_3,\,e_4,\,e_5\}
continua sendo l.i.

Passo 4

O conjunto de cinco vetores l.i. em \mathbb{R}^5 tem dimensão máxima 5, portanto é uma base de \mathbb{R}^5 e contém \{v_1,v_2\}.

Resposta

Uma base de \mathbb{R}^5 que contém \{(1,1,0,0,0),(1,0,1,0,0)\} é
\bigl\{ (1,1,0,0,0),\;(1,0,1,0,0),\;(0,0,1,0,0),\;(0,0,0,1,0),\;(0,0,0,0,1) \bigr\}.

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