Determine uma base ortonormal de:
W=[1, t] no espac,o P_{2}(\mathrm{R}) em relac, ao ao produto interno da integral.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço W=\mathrm{span}\{1,t\} de P_{2}(\mathbb{R}) em relação ao produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt.
Para isso, vamos usar o processo de Gram–Schmidt aplicado aos vetores v_{1}=1 e v_{2}=t.

Passo 2

Normalizamos v_{1}=1. Primeiro calculamos
\langle 1,1\rangle=\int_{0}^{1}1\cdot1\,dt=1,
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e_{1}=\frac{1}{\sqrt{\langle1,1\rangle}}\,v_{1}=1.

Passo 3

Construímos o segundo vetor ortogonal a e_{1} subtraindo de v_{2}=t sua projeção em e_{1}:
\langle t,e_{1}\rangle=\int_{0}^{1}t\cdot1\,dt=\tfrac12,
u_{2}=t-\langle t,e_{1}\rangle\,e_{1}=t-\tfrac12.

Passo 4

Normalizamos u_{2}. Calculamos
\langle u_{2},u_{2}\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(t-\tfrac12\bigr)^{2}dt =\int_{0}^{1}(t^{2}-t+\tfrac14)\,dt =\tfrac{1}{3}-\tfrac12+\tfrac14 =\tfrac{1}{12},
logo \|u_{2}\|=\sqrt{\tfrac{1}{12}}=\tfrac{1}{2\sqrt3} e
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =2\sqrt3\bigl(t-\tfrac12\bigr).

Resposta

Uma base ortonormal de W é
\{\,e_{1},e_{2}\} =\bigl\{\,1,\;2\sqrt3\,(t-\tfrac12)\bigr\}.

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