No espac, o P_{2}(\mathrm{R}) determine m para que p(t)=m t^{2}-1 seja ortogonal a q(t)=t em relac, ão a cada um dos produtos internos abaixo:
\langle f, g\rangle=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de m de modo que o polinômio
p(t)=m\,t^{2}-1
seja ortogonal ao polinômio
q(t)=t
no espaço P_{2}(\mathbb{R}) equipado com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt.

Passo 2

A ortogonalidade exige
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(m\,t^{2}-1\bigr)\,t\,dt=0.

Passo 3

Distribuindo e separando a integral, temos
\int_{0}^{1}(m\,t^{3}-t)\,dt =m\int_{0}^{1}t^{3}\,dt-\int_{0}^{1}t\,dt =m\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}.

Passo 4

Basta resolver a equação
m\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=0
que dá
m\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad m=2.

Resposta

m=2

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