Determine uma base para o subespaço S=\left\{M \in M_{2}(\mathbb{R}) \mid M^{T}=M\right\} de M_{2}(\mathbb{R}), subespaço das matrizes simétricas de ordem 2 \times 2. Qual é a dimensão de S ?
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço S\subset M_{2}(\mathbb{R}) das matrizes simétricas de ordem 2 e a sua dimensão. Esse conteúdo envolve espaços vetoriais de matrizes, caracterização de subespaços e conceitos de base e dimensão.
Passo 2
Uma matriz M\in M_{2}(\mathbb{R}) é simétrica se satisfaz M^{T}=M. Escrevendo
M = \begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}
e impondo m_{ij}=m_{ji}, obtemos
M = \begin{pmatrix}a & b \\\ b & c\end{pmatrix}, \quad a,b,c\in\mathbb{R}.
Passo 3
Note que qualquer M\in S é determinado unicamente pelos escalares a, b e c. Logo, S é isomorfo a \mathbb{R}^{3} e sua dimensão é 3.
Passo 4
Para montar uma base, vamos associar cada parâmetro a uma matriz canônica onde só esse parâmetro é 1 e os demais 0: