Determine uma base para o subespaço S=\left\{M \in M_{2}(\mathbb{R}) \mid M^{T}=M\right\} de M_{2}(\mathbb{R}), subespaço das matrizes simétricas de ordem 2 \times 2. Qual é a dimensão de S ?

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço S\subset M_{2}(\mathbb{R}) das matrizes simétricas de ordem 2 e a sua dimensão. Esse conteúdo envolve espaços vetoriais de matrizes, caracterização de subespaços e conceitos de base e dimensão.

Passo 2

Uma matriz M\in M_{2}(\mathbb{R}) é simétrica se satisfaz M^{T}=M. Escrevendo
M = \begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}
e impondo m_{ij}=m_{ji}, obtemos
M = \begin{pmatrix}a & b \\\ b & c\end{pmatrix}, \quad a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 3

Note que qualquer M\in S é determinado unicamente pelos escalares a, b e c. Logo, S é isomorfo a \mathbb{R}^{3} e sua dimensão é 3.

Passo 4

Para montar uma base, vamos associar cada parâmetro a uma matriz canônica onde só esse parâmetro é 1 e os demais 0:
E_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_{2} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad E_{3} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Qualquer M\in S pode então ser escrito como
M = a\,E_{1} \;+\; b\,E_{2} \;+\; c\,E_{3}.

Passo 5

Como \{E_{1},E_{2},E_{3}\} gera S e é linearmente independente, ela é uma base de S.

Resposta

Uma base de S é
\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
e \dim(S)=3.

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