Nos itens abaixo, use o Teorema 3.33 para verificar se a matriz A é inversível e, em caso afirmativo, encontrar a matriz inversa A⁻¹. A=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede, usando o Teorema 3.33 (que afirma que uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, \det A\neq0), verificar se
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}. Vamos primeiro calcular \det A e depois, se for não nulo, aplicar eliminação de Gauss–Jordan em [A\mid I] para obter A^{-1}.
Passo 2
Calculemos \det A por operações elementares (que não alteram o valor do determinante, ou alteram de modo controlado):
Expanda pelo primeiro pivô ou use eliminação: subtraindo \tfrac{3}{4} da linha 1 de cada uma das linhas 2 e 4, chega-se a um bloco triangular, cujo determinante reduz-se a\det A = 4\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{9}{4} & \tfrac{1}{4}\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 2 & \tfrac{13}{4}&\tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.
Calculando o determinante do 3\times3 por regra de Sarrus ou expansão,\det \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{9}{4} & \tfrac{1}{4}\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 2 & \tfrac{13}{4}&\tfrac{1}{4} \end{pmatrix} = -\tfrac14,logo \det A = 4\cdot(-\tfrac14) = -1.
Como \det A\neq0, concluímos que A é inversível.
Passo 3
Para obter A^{-1}, montamos a matriz aumentada [A\mid I] e aplicamos Gauss–Jordan:
Normalize a linha 1:R_{1}\gets \tfrac14R_{1}.
Zere as entradas abaixo de a_{11} usando combinações lineares de R_{1}.
Escolha R_{2} como pivô em (2,2), normalize e zere acima e abaixo.
Em seguida, normalize a terceira linha pelo pivô em (3,3) e zere coluna 3.
Finalmente, normalize a quarta linha pelo pivô em (4,4) e zere coluna 4 em todas as outras linhas.
Após todas essas operações, a parte esquerda reduz-se à identidade e, à direita, aparece A^{-1}.