Suponha que A, B e C sejam matrizes n × n inversíveis. Mostre que o produto é inversível e que (ABC)⁻¹ = C⁻¹B⁻¹A⁻¹.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A, B e C são matrizes invertíveis de ordem n, então o produto ABC também é invertível e
(ABC)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes e a definição de matriz inversa: uma matriz M é invertível se existe M^{-1} tal que M\,M^{-1}=M^{-1}M=I.

Passo 2

Pela definição, para provar que ABC é invertível basta encontrar uma matriz N que satisfaça
(ABC)\,N = I \quad\text{e}\quad N\,(ABC) = I.
Pela associatividade, podemos agrupar livremente parênteses em produtos de três ou mais matrizes.

Passo 3

Vamos propor como candidato a inversa de ABC a matriz
N = C^{-1}B^{-1}A^{-1}.
Agora verificamos o produto à direita:
(ABC)\,N = (ABC)\,(C^{-1}B^{-1}A^{-1}) = A\bigl(B\,(C\,C^{-1})\,B^{-1}\bigr)A^{-1}.
Como C\,C^{-1}=I e B\,I\,B^{-1}=I, segue
(ABC)\,N = A\,(B\,I\,B^{-1})\,A^{-1} = A\,I\,A^{-1} = I.

Passo 4

Agora verificamos o produto à esquerda:
N\,(ABC) = (C^{-1}B^{-1}A^{-1})\,(ABC) = C^{-1}\bigl(B^{-1}\,(A^{-1}A)\,B\bigr)C.
Como A^{-1}A=I e B^{-1}\,I\,B=I, obtemos
N\,(ABC) = C^{-1}\,(B^{-1}\,I\,B)\,C = C^{-1}\,I\,C = I.

Passo 5

Vimos que N=C^{-1}B^{-1}A^{-1} satisfaz ambas as igualdades
(ABC)\,N = I \quad\text{e}\quad N\,(ABC) = I,
logo N é de fato a inversa de ABC. Concluímos que ABC é invertível e que sua inversa é C^{-1}B^{-1}A^{-1}.

Resposta

(ABC)^{-1} = C^{-1}\,B^{-1}\,A^{-1}.

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