Suponha que A, B e C sejam matrizes n × n inversíveis. Mostre que o produto é inversível e que (ABC)⁻¹ = C⁻¹B⁻¹A⁻¹.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
,
e
são matrizes invertíveis de ordem
, então o produto
também é invertível e
O conteúdo principal aqui é a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes e a definição de matriz inversa: uma matriz
é invertível se existe
tal que
.
Passo 2
Pela definição, para provar que
é invertível basta encontrar uma matriz
que satisfaça
Pela associatividade, podemos agrupar livremente parênteses em produtos de três ou mais matrizes.
Passo 3
Vamos propor como candidato a inversa de
a matriz
Agora verificamos o produto à direita:
Como
e
, segue
Passo 4
Agora verificamos o produto à esquerda:
Como
e
, obtemos
Passo 5
Vimos que
satisfaz ambas as igualdades
logo
é de fato a inversa de
. Concluímos que
é invertível e que sua inversa é
.