Determine bases para o núcleo e imagem das transformações lineares
T: V_{5}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{3}(\mathbb{R}),\\ T\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}\right)=\left(u_{1}+2 u_{2}+2 u_{3}+u_{4}+u_{5}, u_{1}+2 u_{2}+3 u_{3}+2 u_{4}-u_{5}, 3 u_{1}+6 u_{2}+8 u_{3}+5 u_{4}-u_{5}\right)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon V_{5}(\mathbb{R})\to V_{3}(\mathbb{R}),\quad T(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5})= \bigl(u_{1}+2u_{2}+2u_{3}+u_{4}+u_{5},\;u_{1}+2u_{2}+3u_{3}+2u_{4}-u_{5},\;3u_{1}+6u_{2}+8u_{3}+5u_{4}-u_{5}\bigr).
Queremos uma base de \ker(T), isto é, o espaço de soluções de T(u)=0, e uma base de \mathrm{Im}(T), isto é, o espaço gerado pelas colunas (ou imagens dos vetores canônicos). Para isso usaremos redução de matriz para o núcleo e examinaremos independência entre as imagens dos vetores da base canônica para a imagem.

Passo 2

Montamos o sistema homogêneo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 & 2 & -1\\\\ 3 & 6 & 8 & 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{1}\u_{2}\u_{3}\u_{4}\u_{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Fazendo
\text{R}_{2}\gets\text{R}_{2}-\text{R}_{1} e
\text{R}_{3}\gets\text{R}_{3}-3\,\text{R}_{1}, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
Depois \text{R}_{3}\gets\text{R}_{3}-2\,\text{R}_{2} dá uma linha zero. Logo o posto é 2.

Passo 3

As equações não triviais são
\begin{cases} u_{1}+2u_{2}+2u_{3}+u_{4}+u_{5}=0,\\\ u_{3}+u_{4}-2u_{5}=0. \end{cases}
Da segunda vem u_{3}=-\,u_{4}+2u_{5}. Substituindo na primeira:
u_{1}+2u_{2}+2(-u_{4}+2u_{5})+u_{4}+u_{5}=0 \;\Longrightarrow\; u_{1}=-2u_{2}+u_{4}-5u_{5}.
Tomamos parâmetros livres u_{2}=s, u_{4}=t, u_{5}=r. Então
(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5}) =s(-2,1,0,0,0) +t(1,0,-1,1,0) +r(-5,0,2,0,1).
Dessa forma, uma base de \ker(T) é
\{\,(-2,1,0,0,0),\;(1,0,-1,1,0),\;(-5,0,2,0,1)\}.

Passo 4

Para \mathrm{Im}(T), note que
T(e_{1})=(1,1,3),\; T(e_{2})=(2,2,6)=2(1,1,3),\; T(e_{3})=(2,3,8),\; T(e_{4})=(1,2,5)=(2,3,8)-(1,1,3),\; T(e_{5})=(1,-1,-1),
Logo basta os vetores (1,1,3) e (2,3,8), que são independentes. Isso mostra \dim\mathrm{Im}(T)=2.

Resposta

Base de \ker(T):
\{\,(-2,1,0,0,0),\;(1,0,-1,1,0),\;(-5,0,2,0,1)\}.
Base de \mathrm{Im}(T):
\{(1,1,3),\;(2,3,8)\}.

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