O operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(x, y-2 z,-z)
é diagonalizável.
Verdadeiro
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (x,\,y-2z,\,-z)
e pergunta se ele é diagonalizável. Para isso, vamos:
Escrever a matriz de T na base canônica.
Calcular o polinômio característico e extrair os autovalores.
Determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
Concluir sobre a diagonalização, lembrando que um operador em \mathbb{R}^3 é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e a soma das geométricas é 3.
o que gera um espaço próprio de dimensão 1, igual à multiplicidade algébrica de 1.
Passo 5
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, concluímos que T é diagonalizável.