A matriz da transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por
T(x, y)=(2 x-5 y, 3 x-y, 0,-y)
em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{4}, respectivamente, é
\left[\begin{array}{rr} 2 & -5 \\\\ 3 & -1 \\\\ 0 & 0 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right]
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^4,\qquad T(x,y) = (2x - 5y,\;3x - y,\;0,\;-y)
e afirma que, em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^4, a matriz de T é
\begin{pmatrix} 2 & -5\\\\ 3 & -1\\\\ 0 & 0\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.
Para checar isso, vamos usar que a coluna j da matriz de T é exatamente T(e_j), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1).

Passo 2

Calcular T(e_1). Como e_1=(1,0),
T(1,0) = \bigl(2\cdot1 -5\cdot0,\;3\cdot1 -0,\;0,\;-0\bigr) = (2,\,3,\,0,\,0).
Logo a primeira coluna da matriz de T deve ser
\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular T(e_2). Como e_2=(0,1),
T(0,1) = \bigl(2\cdot0 -5\cdot1,\;3\cdot0 -1,\;0,\;-1\bigr) = (-5,\,-1,\,0,\,-1).
Portanto a segunda coluna da matriz de T é
\begin{pmatrix}-5\\\ -1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Montando a matriz correta de T nas bases canônicas, obtemos
\begin{pmatrix} 2 & -5\\\\ 3 & -1\\\\ 0 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Isso difere da matriz dada no enunciado, pois o quarto elemento da primeira coluna deveria ser 0 e não -1.

Resposta

Falso

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