Determine bases do núcleo e da imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z, t)=(4 x+y-2 z, 2 x+y+z-4 t, 6 x-9 z+9 t)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y,z,t) = (\,4x+y-2z,\;2x+y+z-4t,\;6x-9z+9t\,),
e pede uma base do núcleo \ker T e da imagem \operatorname{Im}T.
Para isso vamos escrever a matriz de T nas bases canônicas, resolver A\mathbf{v}=\mathbf{0} para achar \ker T e extrair colunas independentes para \operatorname{Im}T.

Passo 2

A matriz associada a T é
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & -4\\\\ 6 & 0 & -9 & 9 \end{pmatrix},
de modo que T(x,y,z,t)=A\,(x,y,z,t)^{T}. Para \ker T resolvemos
A\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Fazendo eliminação de Gauss em A\) e voltando ao sistema escalonado, obtemos o sistema equivalente \[\begin{cases} 4x - 6z = 0,\\\ y + 4z = 0,\\\ t = 0. \end{cases}
Tomando z=\lambda\], das duas primeiras equações vem \[x = \tfrac{3}{2}\,\lambda,\quad y = -4\,\lambda,\quad t = 0.\] Logo \[(x,y,z,t) = \lambda\bigl(\tfrac32,\,-4,\,1,\,0\bigr) = \lambda\,\bigl(3,\,-8,\,2,\,0\bigr)\!,\] o que mostra que \(\ker T é 1-dimensional, com base \{(3,-8,2,0)\}.

Passo 4

Para \operatorname{Im}T, basta notar que o posto de A é 3 e que as colunas pivô são as colunas 1, 2 e 4. Assim uma base da imagem é dada pelas colunas correspondentes:
T(e_{1}) = (4,2,6),\quad T(e_{2}) = (1,1,0),\quad T(e_{4}) = (0,-4,9).

Resposta

A base do núcleo é
\ker T = \mathrm{span}\{(3,-8,2,0)\}.
A base da imagem é
\operatorname{Im}T = \mathrm{span}\{(4,2,6),\;(1,1,0),\;(0,-4,9)\}.

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