e pede uma base do núcleo \ker T e da imagem \operatorname{Im}T.
Para isso vamos escrever a matriz de T nas bases canônicas, resolver A\mathbf{v}=\mathbf{0} para achar \ker T e extrair colunas independentes para \operatorname{Im}T.
Fazendo eliminação de Gauss em A\) e voltando ao sistema escalonado, obtemos o sistema equivalente
\[\begin{cases} 4x - 6z = 0,\\\ y + 4z = 0,\\\ t = 0. \end{cases}
Tomando z=\lambda\], das duas primeiras equações vem
\[x = \tfrac{3}{2}\,\lambda,\quad y = -4\,\lambda,\quad t = 0.\]
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\[(x,y,z,t) = \lambda\bigl(\tfrac32,\,-4,\,1,\,0\bigr) = \lambda\,\bigl(3,\,-8,\,2,\,0\bigr)\!,\]
o que mostra que \(\ker T é 1-dimensional, com base \{(3,-8,2,0)\}.
Passo 4
Para \operatorname{Im}T, basta notar que o posto de A é 3 e que as colunas pivô são as colunas 1, 2 e 4. Assim uma base da imagem é dada pelas colunas correspondentes: