Determine bases para o núcleo e imagem das transformações lineares
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
Precisamos encontrar uma base de
e uma base de
. Para isso, vamos (1) resolver o sistema homogêneo
e (2) determinar o espaço gerado pelas imagens dos vetores canônicos de
.
Passo 2
Para achar
o que gera o sistema
Da primeira equação segue
. Logo todo vetor do núcleo é da forma
Assim
e uma base é
.
Passo 3
Para achar
, usamos as imagens dos vetores canônicos de
:
Portanto
Como
e
são linearmente independentes em
, temos
e podemos escolher
como base.