Determine bases para o núcleo e imagem das transformações lineares
T: V_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)=\left(u_{1}+u_{2}, u_{2}+u_{3}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T: V_{3}(\mathbb{R}) \to V_{2}(\mathbb{R}),\quad T(u_{1},u_{2},u_{3}) = (u_{1}+u_{2},\,u_{2}+u_{3}).
Precisamos encontrar uma base de \ker(T) e uma base de \mathrm{Im}(T). Para isso, vamos (1) resolver o sistema homogêneo T(u)=0 e (2) determinar o espaço gerado pelas imagens dos vetores canônicos de V_{3}(\mathbb{R}).

Passo 2

Para achar \ker(T)\), impomos \[T(u_{1},u_{2},u_{3}) = (u_{1}+u_{2},\,u_{2}+u_{3}) = (0,0)
o que gera o sistema
\begin{cases} u_{1} + u_{2} = 0,\\\ u_{2} + u_{3} = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue u_{1}=-u_{2}\] e da segunda \(u_{3}=-u_{2}. Logo todo vetor do núcleo é da forma
(u_{1},u_{2},u_{3}) = (-u_{2},u_{2},-u_{2}) = u_{2}\,(-1,1,-1).
Assim \dim(\ker(T))=1 e uma base é \{(-1,1,-1)\}.

Passo 3

Para achar \mathrm{Im}(T), usamos as imagens dos vetores canônicos de V_{3}(\mathbb{R}):
T(1,0,0) = (1,0),\quad T(0,1,0) = (1,1),\quad T(0,0,1) = (0,1).
Portanto
\mathrm{Im}(T) = \operatorname{span}\{(1,0),\,(1,1),\,(0,1)\}.
Como (1,0) e (0,1) são linearmente independentes em \mathbb{R}^{2}, temos \dim(\mathrm{Im}(T))=2 e podemos escolher \{(1,0),(0,1)\} como base.

Resposta

\ker(T) tem base \{(-1,1,-1)\}.
\mathrm{Im}(T) tem base \{(1,0),(0,1)\}.

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