Existe uma transformação linear T: V_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}) tal que T(1,0,3)=(1,1) e T(-2,0,-6)= (2,1) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
\;T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
tais que
T(1,0,3) = (1,1) \quad\text{e}\quad T(-2,0,-6) = (2,1).
Para verificar existência, vamos usar a propriedade de linearidade de T:
\;T(\alpha u) = \alpha\,T(u) para todo \alpha\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Observamos que
(-2,0,-6) = -2 \cdot (1,0,3).
Logo, o segundo vetor é escalar de múltiplo do primeiro.

Passo 3

Pela linearidade de T, teríamos
T(-2,0,-6) = T\bigl(-2\cdot(1,0,3)\bigr) = -2\,T(1,0,3).
Como T(1,0,3) = (1,1), segue que
-2\,T(1,0,3) = -2\cdot(1,1) = (-2,-2).

Passo 4

Mas o enunciado exige T(-2,0,-6) = (2,1). Comparando,
(-2,-2) \neq (2,1),
há contradição com a linearidade.

Resposta

Não existe tal transformação linear.

Exercícios relacionados