Determine bases para o núcleo e imagem das transformações lineares
T: V_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)=\left(u_{1}+u_{2}+u_{3}, 2 u_{1}+2 u_{2}+2 u_{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar bases do núcleo e da imagem da transformação linear
T\colon V_{3}(\mathbb{R}) \to V_{2}(\mathbb{R}),\quad T(u_{1},u_{2},u_{3})=\bigl(u_{1}+u_{2}+u_{3},\,2u_{1}+2u_{2}+2u_{3}\bigr).
O conteúdo necessário é definição de núcleo ( \ker(T)) e imagem ( \mathrm{Im}(T)) de uma transformação linear, e uso de representação matricial na base canônica.

Passo 2

Na base canônica de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2, T corresponde à multiplicação pela matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Como todas as colunas de A são iguais a \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}, tem-se
\mathrm{Im}(T) = \mathrm{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}\Bigr\}.
Portanto, uma base de \mathrm{Im}(T) é
\{(1,2)\}.

Passo 4

O núcleo de T\) é o conjunto de \((u_{1},u_{2},u_{3})\) tais que \[T(u_{1},u_{2},u_{3})=(0,0),
isto é, resolve-se
\begin{cases} u_{1}+u_{2}+u_{3}=0,\\\\ 2\,(u_{1}+u_{2}+u_{3})=0. \end{cases}
A segunda equação é repetida da primeira, logo a única restrição é (u_{1}+u_{2}+u_{3}=0]. Escrevendo
(u_{1},u_{2},u_{3})=(u_{1},u_{2},-u_{1}-u_{2}) = u_{1}\,(1,0,-1)\;+\;u_{2}\,(0,1,-1),
vemos que
\ker(T)=\mathrm{span}\{(1,0,-1),\,(0,1,-1)\}.

Resposta

Uma base para \ker(T) é \{(1,0,-1),\,(0,1,-1)\}
Uma base para \mathrm{Im}(T) é \{(1,2)\}

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