O conteúdo necessário é definição de núcleo (\ker(T)) e imagem (\mathrm{Im}(T)) de uma transformação linear, e uso de representação matricial na base canônica.
Passo 2
Na base canônica de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2, T corresponde à multiplicação pela matriz
A segunda equação é repetida da primeira, logo a única restrição é (u_{1}+u_{2}+u_{3}=0]. Escrevendo (u_{1},u_{2},u_{3})=(u_{1},u_{2},-u_{1}-u_{2}) = u_{1}\,(1,0,-1)\;+\;u_{2}\,(0,1,-1),
vemos que \ker(T)=\mathrm{span}\{(1,0,-1),\,(0,1,-1)\}.
Resposta
Uma base para \ker(T) é \{(1,0,-1),\,(0,1,-1)\}
Uma base para \mathrm{Im}(T) é \{(1,2)\}