Determine e^{\boldsymbol{A} t} para as matrizes \boldsymbol{A} representadas a seguir:
\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -14 & -9\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a matriz
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-14 & -9\end{pmatrix}.
  • Pede-se calcular a matriz exponencial \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}, isto é, a função matricial de t definida pela série \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(\boldsymbol{A}t)^k}{k!}.]

Passo 2

Ideia geral e fórmula que usaremos (explicação didática).
Uma forma prática para matrizes 2\times2 é diagonalizar \boldsymbol{A} se for possível. Se existir \boldsymbol{S} invertível e diagonal \boldsymbol{D} tais que
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{S}\,\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{S}^{-1},
então, usando série de potências e a propriedade de conjugação, tem-se
\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\boldsymbol{S}\,\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t}\,\boldsymbol{S}^{-1}.
Aqui \mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t} é simples porque \boldsymbol{D} é diagonal: se \boldsymbol{D}=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2) então
\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t}=\operatorname{diag}\big(\mathrm{e}^{\lambda_1 t},\,\mathrm{e}^{\lambda_2 t}\big).
Vamos portanto verificar se \boldsymbol{A} tem autovalores distintos (o que garante diagonalização) e computar autovetores, montar \boldsymbol{S}, \boldsymbol{S}^{-1} e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Cálculo dos autovalores (característica).
Os autovalores \lambda satisfazem \det(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=0. Calculemos o polinômio característico:
\det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-14 & -9-\lambda\end{pmatrix} =(-\lambda)(-9-\lambda)-1\cdot(-14)=\lambda(\lambda+9)+14.
Portanto o polinômio é
\lambda^2+9\lambda+14=0.
Resolvendo a equação quadrática:
\lambda=\frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot1\cdot14}}{2}=\frac{-9\pm\sqrt{81-56}}{2}=\frac{-9\pm\sqrt{25}}{2}.
Assim os autovalores são
\lambda_1=\frac{-9+5}{2}=-2,\qquad \lambda_2=\frac{-9-5}{2}=-7.
São distintos, logo \boldsymbol{A} é diagonalizável.]

Passo 4

Cálculo dos autovetores associados.
Para \lambda_1=-2 resolvemos (\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{I})\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-14 & -7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação 2x+y=0, logo y=-2x. Podemos escolher x=1 e obter o autovetor
\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-7 resolvemos (\boldsymbol{A}+7\boldsymbol{I})\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}7 & 1\\[4pt]-14 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação 7x+y=0, logo y=-7x. Tomando x=1 fica
\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-7\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montagem de \boldsymbol{S} e cálculo de \boldsymbol{S}^{-1}.
Colocando os autovetores como colunas formamos
\boldsymbol{S}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -7\end{pmatrix}.
O determinante de \boldsymbol{S} é
\det(\boldsymbol{S})=1\cdot(-7)-1\cdot(-2)=-7+2=-5.
Como \det(\boldsymbol{S})=-5\neq0, \boldsymbol{S} é invertível. Aplicando a fórmula da inversa de 2\times2,
\boldsymbol{S}^{-1}=\frac{1}{\det(\boldsymbol{S})}\begin{pmatrix}-7 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-7 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7/5 & 1/5\\[4pt]-2/5 & -1/5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Construção de \mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t} e início do produto.
A matriz diagonal com os autovalores é
\boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -7\end{pmatrix},
portanto
\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t}=\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-2t} & 0\\[4pt]0 & \mathrm{e}^{-7t}\end{pmatrix}.
Pela fórmula \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\boldsymbol{S}\,\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t}\,\boldsymbol{S}^{-1} primeiro calculamos \boldsymbol{S}\,\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t}:
\boldsymbol{S}\,\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-2t} & 0\\[4pt]0 & \mathrm{e}^{-7t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-2t} & \mathrm{e}^{-7t}\\[6pt]-2\mathrm{e}^{-2t} & -7\mathrm{e}^{-7t}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Multiplicação final e simplificação (cálculo explícito dos elementos).
Multiplicamos a matriz obtida pelo \boldsymbol{S}^{-1} calculado:
\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t} =\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-2t} & \mathrm{e}^{-7t}\\[6pt]-2\mathrm{e}^{-2t} & -7\mathrm{e}^{-7t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7/5 & 1/5\\[4pt]-2/5 & -1/5\end{pmatrix}.
Calculemos cada entrada (denotando a=\mathrm{e}^{-2t} e b=\mathrm{e}^{-7t} para simplificar a escrita):
  • Entrada (1,1):
\frac{1}{5}\big(7a-2b\big).
  • Entrada (1,2):
\frac{1}{5}\big(a-b\big).
  • Entrada (2,1):
\frac{1}{5}\big(-14a+14b\big)=\frac{14}{5}\big(b-a\big).
  • Entrada (2,2):
\frac{1}{5}\big(-2a+7b\big).
Voltando às exponenciais a=\mathrm{e}^{-2t} e b=\mathrm{e}^{-7t}, obtemos
\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 7\mathrm{e}^{-2t}-2\mathrm{e}^{-7t} & \mathrm{e}^{-2t}-\mathrm{e}^{-7t}\\[6pt] 14\big(\mathrm{e}^{-7t}-\mathrm{e}^{-2t}\big) & -2\mathrm{e}^{-2t}+7\mathrm{e}^{-7t} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (sanity check).
Como checagem rápida, para t=0 temos \mathrm{e}^{-2\cdot0}=\mathrm{e}^{-7\cdot0}=1. Substituindo na expressão obtida:
\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}\cdot 0}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}7-2 & 1-1\\[6pt]14(1-1) & -2+7\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 0\\[6pt]0 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
ou seja, a expressão verifica \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}\cdot 0}=\boldsymbol{I}, como deve ser.]

Resposta

\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 7\mathrm{e}^{-2t}-2\mathrm{e}^{-7t} & \mathrm{e}^{-2t}-\mathrm{e}^{-7t}\\[6pt] 14\big(\mathrm{e}^{-7t}-\mathrm{e}^{-2t}\big) & -2\mathrm{e}^{-2t}+7\mathrm{e}^{-7t} \end{pmatrix}.]

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