Pede-se calcular a matriz exponencial \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}, isto é, a função matricial de t definida pela série \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(\boldsymbol{A}t)^k}{k!}.]
Passo 2
Ideia geral e fórmula que usaremos (explicação didática).
Uma forma prática para matrizes 2\times2 é diagonalizar \boldsymbol{A} se for possível. Se existir \boldsymbol{S} invertível e diagonal \boldsymbol{D} tais que
Vamos portanto verificar se \boldsymbol{A} tem autovalores distintos (o que garante diagonalização) e computar autovetores, montar \boldsymbol{S}, \boldsymbol{S}^{-1} e aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Cálculo dos autovalores (característica).
Os autovalores \lambda satisfazem \det(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=0. Calculemos o polinômio característico:
Pela fórmula \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\boldsymbol{S}\,\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t}\,\boldsymbol{S}^{-1} primeiro calculamos \boldsymbol{S}\,\mathrm{e}^{\boldsymbol{D}t}:
Verificação rápida (sanity check).
Como checagem rápida, para t=0 temos \mathrm{e}^{-2\cdot0}=\mathrm{e}^{-7\cdot0}=1. Substituindo na expressão obtida: