Determine e^{\boldsymbol{A} t} para as matrizes \boldsymbol{A} representadas a seguir: \left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar com calma para a gente se situar):
A matriz dada é \displaystyle \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
O que se pede é calcular a matriz exponencial \displaystyle e^{\boldsymbol{A}t} (isto é, a exponencial da matriz \boldsymbol{A} multiplicada por um parâmetro escalar t).
Resumo do pedido em uma frase: encontrar \displaystyle e^{\boldsymbol{A}t} para a matriz indicada.]
Passo 2
Lembrete teórico (fórmula que vamos usar): a exponencial de uma matriz é definida pela série de potências, análoga à exponencial escalar. Escrevendo explicitamente:
Aqui cada termo tem sentido matricial: \boldsymbol{A}^k é a potência k-ésima da matriz \boldsymbol{A}, t^k é a potência escalar, e k! é o fatorial usual. Essa série converge para toda matriz \boldsymbol{A} e todo escalar t.
Passo 3
Observação importante sobre a matriz dada: \boldsymbol{A} é um múltiplo da matriz identidade. Escrevemos isso explicitamente:
onde \boldsymbol{I} é a matriz identidade 2\times2. Essa é uma informação forte e simplifica muito as contas.]
Passo 4
Calcular potências de \boldsymbol{A}. Se \boldsymbol{A}=2\boldsymbol{I}, então por propriedades da identidade e da multiplicação escalar temos, para todo inteiro k\ge0,
Explicando: (c\boldsymbol{I})^k=c^k\boldsymbol{I}^k e \boldsymbol{I}^k=\boldsymbol{I}. Assim cada potência da matriz é simplesmente um escalar vezes \boldsymbol{I}.
Passo 5
Substituir as potências na série da exponencial. Usando (\boldsymbol{A}t)^k=(\boldsymbol{A}^k)t^k=2^k\boldsymbol{I}\,t^k=(2t)^k\boldsymbol{I}, obtemos
Observações extras rápidas (úteis para a prova, são atalhos): quando \boldsymbol{A}= \lambda \boldsymbol{I} com \lambda escalar, sempre vale e^{\boldsymbol{A}t}=e^{\lambda t}\boldsymbol{I}. Outra via de ver é que \boldsymbol{A} é diagonal com autovalores 2 e 2, e para matrizes diagonais a exponencial é obtida exponenciando-se cada elemento diagonal.