Determine e^{\boldsymbol{A} t} para as matrizes \boldsymbol{A} representadas a seguir:
\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar com calma para a gente se situar):
  • A matriz dada é \displaystyle \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
  • O que se pede é calcular a matriz exponencial \displaystyle e^{\boldsymbol{A}t} (isto é, a exponencial da matriz \boldsymbol{A} multiplicada por um parâmetro escalar t).
Resumo do pedido em uma frase: encontrar \displaystyle e^{\boldsymbol{A}t} para a matriz indicada.]

Passo 2

Lembrete teórico (fórmula que vamos usar): a exponencial de uma matriz é definida pela série de potências, análoga à exponencial escalar. Escrevendo explicitamente:
e^{\boldsymbol{A}t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\boldsymbol{A}t)^k}{k!}.
Aqui cada termo tem sentido matricial: \boldsymbol{A}^k é a potência k-ésima da matriz \boldsymbol{A}, t^k é a potência escalar, e k! é o fatorial usual. Essa série converge para toda matriz \boldsymbol{A} e todo escalar t.

Passo 3

Observação importante sobre a matriz dada: \boldsymbol{A} é um múltiplo da matriz identidade. Escrevemos isso explicitamente:
\boldsymbol{A}=2\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\boldsymbol{I},
onde \boldsymbol{I} é a matriz identidade 2\times2. Essa é uma informação forte e simplifica muito as contas.]

Passo 4

Calcular potências de \boldsymbol{A}. Se \boldsymbol{A}=2\boldsymbol{I}, então por propriedades da identidade e da multiplicação escalar temos, para todo inteiro k\ge0,
\boldsymbol{A}^k=(2\boldsymbol{I})^k=2^k\boldsymbol{I}.
Explicando: (c\boldsymbol{I})^k=c^k\boldsymbol{I}^k e \boldsymbol{I}^k=\boldsymbol{I}. Assim cada potência da matriz é simplesmente um escalar vezes \boldsymbol{I}.

Passo 5

Substituir as potências na série da exponencial. Usando (\boldsymbol{A}t)^k=(\boldsymbol{A}^k)t^k=2^k\boldsymbol{I}\,t^k=(2t)^k\boldsymbol{I}, obtemos
e^{\boldsymbol{A}t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2t)^k\boldsymbol{I}}{k!}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2t)^k}{k!}\right)\boldsymbol{I}.
A soma escalar é exatamente a série da exponencial escalar e^{2t}. Logo a série fica
e^{\boldsymbol{A}t}=e^{2t}\,\boldsymbol{I}.

Passo 6

Escrever a resposta na forma matricial explícita: multiplicar e^{2t} pela identidade resulta numa matriz diagonal com entradas e^{2t}. Assim
e^{\boldsymbol{A}t}=\begin{pmatrix}e^{2t} & 0\\[4pt]0 & e^{2t}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Observações extras rápidas (úteis para a prova, são atalhos): quando \boldsymbol{A}= \lambda \boldsymbol{I} com \lambda escalar, sempre vale e^{\boldsymbol{A}t}=e^{\lambda t}\boldsymbol{I}. Outra via de ver é que \boldsymbol{A} é diagonal com autovalores 2 e 2, e para matrizes diagonais a exponencial é obtida exponenciando-se cada elemento diagonal.

Resposta

e^{\boldsymbol{A}t}=\begin{pmatrix}e^{2t} & 0\\[4pt]0 & e^{2t}\end{pmatrix}]

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