Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável \dot{\boldsymbol{x}}=\left[\begin{array}{ll}4 & -5 \\\\ 5 & -4\end{array}\right] \boldsymbol{x}
Podemos escolher livremente v_1 (qualquer escala não-nula dá um autovetor). Para evitar frações escolho v_1=5. Assim um autovetor associado a \lambda=3\mathrm{i} é
Observe que \boldsymbol{v}_2 é o conjugado complexo de \boldsymbol{v}_1, como é comum quando A tem entradas reais.]
Passo 5
Interpretação para estabilidade (passo-a-passo didático):
Para sistemas lineares \dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x}, a estabilidade do ponto de equilíbrio \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} é determinada pelas partes reais dos autovalores de A.
Se todas as partes reais forem negativas (\Re(\lambda)<0), o ponto é assintoticamente estável (soluções vão para zero).
Se alguma parte real for positiva, é instável.
Se todas as partes reais são não-positivas e pelo menos uma tem parte real zero, a análise precisa do caso pode depender da forma de Jordan; em particular, autovalores puramente imaginários simples (sem blocos de Jordan não-diagonais) tipicamente dão estabilidade (soluções limitadas) mas não assintótica.
No nosso caso os autovalores são \pm 3\mathrm{i}: as partes reais são zero. Temos autovalores distintos (não repetidos), logo A é diagonalizável sobre \mathbb{C} e não há blocos de Jordan não-triviais. Assim as soluções são combinações lineares de exponenciais e^{\pm 3\mathrm{i}t}, ou seja, senos e cossenos — movimentos oscilatórios periódicos de amplitude constante. Portanto o equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov (soluções que começam próximas permanecem próximas) mas não é assintoticamente estável (não convergem para zero).
Uma forma elegante de ver que as soluções são periódicas é observar potências de A: calculemos A^{2}.