Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\dot{\boldsymbol{x}}=\left[\begin{array}{ll}4 & -5 \\\\ 5 & -4\end{array}\right] \boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear autonômo
\dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x},\qquad A=\begin{pmatrix}4 & -5 \\[4pt] 5 & -4\end{pmatrix},
e pede três coisas:
  • Encontrar os autovalores de A.
  • Encontrar autovetores correspondentes.
  • Determinar se o sistema é estável (e que tipo de estabilidade: assintótica ou não).
As informações relevantes fornecidas são apenas os elementos da matriz A mostrada acima.]

Passo 2

O que é um autovalor e como achar?
Um escalar \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo \boldsymbol{v} tal que
A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}.
Para encontrar \lambda resolvemos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade. Para matrizes 2\times2 vale a relação prática
\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0,
onde \operatorname{tr}A é a soma das diagonais e \det A o determinante.
Calculemos \operatorname{tr}A e \det A:
\operatorname{tr}A=4+(-4)=0,
\det A = 4\cdot(-4)-(-5)\cdot5 = -16 - (-25)=9.
Logo o polinômio característico é
\lambda^{2}+9=0.
Resolvendo,
\lambda^{2}=-9 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 3\mathrm{i}.

Passo 3

Agora vamos achar autovetores. Para \lambda=3\mathrm{i} resolvemos (A-3\mathrm{i}I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}. Escrevendo as equações:
\begin{pmatrix}4-3\mathrm{i} & -5 \\[4pt] 5 & -4-3\mathrm{i}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[2pt] v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt] 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha obtemos a relação
(4-3\mathrm{i})v_1 - 5 v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \frac{4-3\mathrm{i}}{5}\,v_1.
Podemos escolher livremente v_1 (qualquer escala não-nula dá um autovetor). Para evitar frações escolho v_1=5. Assim um autovetor associado a \lambda=3\mathrm{i} é
\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}5\\[2pt]4-3\mathrm{i}\end{pmatrix}.
(qualquer múltiplo escalar de \boldsymbol{v}_1 também é autovetor).]

Passo 4

Para \lambda=-3\mathrm{i} o procedimento é análogo. Resolvendo (A+3\mathrm{i}I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0} obtemos
(4+3\mathrm{i})v_1 - 5 v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \frac{4+3\mathrm{i}}{5}\,v_1.
Escolhendo v_1=5 novamente, um autovetor correspondente é
\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}5\\[2pt]4+3\mathrm{i}\end{pmatrix}.
Observe que \boldsymbol{v}_2 é o conjugado complexo de \boldsymbol{v}_1, como é comum quando A tem entradas reais.]

Passo 5

Interpretação para estabilidade (passo-a-passo didático):
  • Para sistemas lineares \dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x}, a estabilidade do ponto de equilíbrio \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} é determinada pelas partes reais dos autovalores de A.
  • Se todas as partes reais forem negativas ( \Re(\lambda)<0), o ponto é assintoticamente estável (soluções vão para zero).
  • Se alguma parte real for positiva, é instável.
  • Se todas as partes reais são não-positivas e pelo menos uma tem parte real zero, a análise precisa do caso pode depender da forma de Jordan; em particular, autovalores puramente imaginários simples (sem blocos de Jordan não-diagonais) tipicamente dão estabilidade (soluções limitadas) mas não assintótica.
No nosso caso os autovalores são \pm 3\mathrm{i}: as partes reais são zero. Temos autovalores distintos (não repetidos), logo A é diagonalizável sobre \mathbb{C} e não há blocos de Jordan não-triviais. Assim as soluções são combinações lineares de exponenciais e^{\pm 3\mathrm{i}t}, ou seja, senos e cossenos — movimentos oscilatórios periódicos de amplitude constante. Portanto o equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov (soluções que começam próximas permanecem próximas) mas não é assintoticamente estável (não convergem para zero).
Uma forma elegante de ver que as soluções são periódicas é observar potências de A: calculemos A^{2}.
A^{2}=\begin{pmatrix}4 & -5 \\[4pt] 5 & -4\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix}-9 & 0 \\[4pt] 0 & -9\end{pmatrix}=-9I.
Isso implica que as potências de A se comportam como potências de uma rotação escalada, e permite escrever a exponencial matricial de forma fechada:
e^{At}=\cos(3t)\,I+\frac{\sin(3t)}{3}\,A.
Da expressão acima segue que \|e^{At}\| é limitada e periódica, confirmando que as soluções são oscilatórias e de amplitude constante.]

Passo 6

Resumo prático para a prova (o que levar como resposta curta):
  • Autovalores: \pm 3\mathrm{i}.
  • Autovetores: podem ser tomados como \begin{pmatrix}5\\\ 4-3\mathrm{i}\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}5\\\ 4+3\mathrm{i}\end{pmatrix}.
  • Estabilidade: sistema estável (Lyapunov), não assintoticamente estável; soluções periódicas (centro).

Resposta

\lambda_{1}=3\mathrm{i},\quad \lambda_{2}=-3\mathrm{i}
\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]4-3\mathrm{i}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]4+3\mathrm{i}\end{pmatrix}
Sistema estável (Lyapunov), não assintoticamente estável (soluções periódicas; centro)]

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