Encontrar os autovalores (autovalores = valores próprios) de A.
Encontrar os autovetores correspondentes.
Determinar se o sistema é estável (e que tipo de estabilidade: assintótica, marginal, instável).]
Passo 2
Como se acha autovalores? Explicando a regra passo a passo (como se estivesse estudando): um número \lambda é autovalor de A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
que tem solução não-trivial somente quando o determinante de A-\lambda I é zero. Portanto calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Vamos calcular \det(A-\lambda I) explicitamente. Primeiro escrevemos
Agora resolvemos a equação quadrática para achar \lambda. Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \lambda^2+2\lambda+5=0, os coeficientes são a=1, b=2, c=5. A fórmula dá
Portanto os autovalores de A são \lambda_1=-1+2\mathrm{i} e \lambda_2=-1-2\mathrm{i}.
Breve comentário didático: autovalores complexos aparecem em pares conjugados quando a matriz tem entradas reais — isso é normal e significa comportamento oscilatório nas soluções.
Passo 4
Agora vamos achar os autovetores correspondentes. Vou fazer para \lambda_1=-1+2\mathrm{i}; o autovetor correspondente ao conjugado será o conjugado do primeiro autovetor (porque A tem entradas reais).
Escrevo o sistema (A-\lambda_1 I)v=0. Primeiro calculemos A-\lambda_1 I:
Posso verificar consistência substituindo na primeira equação: (2-2\mathrm{i})(2+2\mathrm{i})-8=8-8=0 (usei que (2-2\mathrm{i})(2+2\mathrm{i})=2^2+2^2=8), então está correto.
Para \lambda_2=-1-2\mathrm{i} o autovetor é o conjugado de v^{(1)}:
Breve explicação didática: autovetores complexos vêm em pares conjugados; qualquer múltiplo escalar também é autovetor.]
Passo 5
Interpretação de estabilidade (a parte que normalmente te pedem na prova): para um sistema linear \dot{x}=Ax, as soluções estão ligadas aos autovalores de A. Se todos os autovalores tiverem parte real estritamente negativa, então a origem é assintoticamente estável (todas as soluções tendem a zero quando t\to\infty). Se algum autovalor tem parte real positiva, o sistema é instável. Se as partes reais são não-positivas e algum é zero com multiplicidade ou falta de diagonalização, pode ser marginalmente estável.
No nosso caso os autovalores são -1\pm 2\mathrm{i}. Ambos têm parte real -1, que é negativa. Portanto as soluções oscilam (devido à parte imaginária \pm 2\mathrm{i}) e decaem exponencialmente (devido à parte real -1). Isso caracteriza um espiral que converge para a origem — em termos técnicos: a origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável (mais especificamente: nodo espiral assintótico ou foco assintótico estável).
Posso também escrever a forma geral real das soluções para reforçar a intuição. Se escrevemos o autovetor v^{(1)}=p+\mathrm{i}q com
Como \alpha=-1<0, essas soluções têm fator e^{-t} que faz as amplitudes decaírem, enquanto os cossenos/senos trazem a oscilação de frequência 2. Resultado: decaimento oscilatório para a origem.]
Passo 6
Resumo e conclusão final (pronto para conferir rapidamente na prova):
Autovetores: por exemplo, para \lambda_1 pode-se escolher v^{(1)}=\begin{pmatrix}2+2\mathrm{i}\\[4pt]1\end{pmatrix} e para \lambda_2 escolher v^{(2)}=\begin{pmatrix}2-2\mathrm{i}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Estabilidade: todas as partes reais dos autovalores são negativas, logo o sistema é assintoticamente estável (origem é um foco assintótico estável; soluções apresentam decaimento exponencial com oscilações).]
Autovetores: v^{(1)}=\begin{pmatrix}2+2\mathrm{i}\\[4pt]1\end{pmatrix}, v^{(2)}=\begin{pmatrix}2-2\mathrm{i}\\[4pt]1\end{pmatrix}
Estabilidade: o sistema é assintoticamente estável (foco/espiral estável).]