Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se vec{u} e vec{v} são paralelos, então vec{u}=vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique: "Se \vec{u} e \vec{v} são paralelos, então \vec{u}=\vec{v}".
Informações dadas: apenas que \vec{u} e \vec{v} são paralelos.
O objetivo é responder verdadeiro/falso e justificar com argumentos e exemplos.

Passo 2

Definição precisa de vetores paralelos (a principal ferramenta que vou usar).
Dizemos que \vec{u} é paralelo a \vec{v} se existe um escalar \lambda tal que
\vec{u}=\lambda\,\vec{v}.
Aqui \lambda é um número real. Interpretações:
  • se \lambda>0, \vec{u} e \vec{v} têm o mesmo sentido (apontam para o mesmo lado);
  • se \lambda<0, têm sentidos opostos;
  • se \lambda=0, então \vec{u}=\vec{0} (o vetor nulo) que é considerado paralelo a qualquer vetor porque \vec{0}=0\cdot\vec{v}.

Passo 3

Definição de igualdade de vetores (o que significa \vec{u}=\vec{v}).
Do ponto de vista algébrico, \vec{u}=\vec{v} significa que todos os componentes correspondentes de \vec{u} e \vec{v} são iguais (ou geometricamente: mesma direção, mesmo sentido e mesma magnitude). Em termos de escalares, se \vec{u}=\lambda\vec{v} então para que \vec{u}=\vec{v} seja verdade precisamos ter \lambda=1 (exceto no caso especial em que \vec{v}=\vec{0}, que merece atenção à parte).

Passo 4

Ligando as duas definições: se \vec{u} e \vec{v} são paralelos, então existe \lambda com
\vec{u}=\lambda\vec{v}.
Para que também valha \vec{u}=\vec{v} deve ocorrer
\lambda\vec{v}=\vec{v}\quad\Rightarrow\quad (\lambda-1)\vec{v}=\vec{0}.
Dessa igualdade seguem duas possibilidades: \lambda=1 ou \vec{v}=\vec{0}. Portanto, em geral a paralelidade não garante igualdade — só garante igualdade quando \lambda=1 (ou quando \vec{v}=\vec{0} e então \vec{u}=\vec{0} também).

Passo 5

Contraexemplo numérico simples (a forma mais direta de mostrar que a afirmação é falsa).
Considere vetores em \mathbb{R}^2:
\vec{u}=(1,0),\qquad \vec{v}=(2,0).
Temos \vec{u}=\tfrac{1}{2}\vec{v}, logo \vec{u} e \vec{v} são paralelos (com \lambda=\tfrac{1}{2}). Mas claramente \vec{u}\neq\vec{v} porque (1,0)\neq(2,0). Isso mostra que a afirmação “paralelos então iguais” é falsa.

Passo 6

Observações finais e casos especiais (para você usar na prova):
  • Se \vec{u} e \vec{v} são paralelos e o escalar que relaciona é \lambda=1, então sim \vec{u}=\vec{v}.
  • Se um dos vetores é o vetor nulo, \vec{0}, então \vec{0} é paralelo a qualquer vetor; nesse caso a igualdade só ocorre se o outro também for \vec{0}.
  • Em qualquer outro caso (por exemplo \lambda\neq1 e \vec{v}\neq\vec{0}) os vetores são paralelos mas não iguais.

Resposta

Falsa.

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