Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se
e
são paralelos, então
.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique: "Se
e
são paralelos, então
".
Informações dadas: apenas que e
são paralelos.
O objetivo é responder verdadeiro/falso e justificar com argumentos e exemplos.
Informações dadas: apenas que
O objetivo é responder verdadeiro/falso e justificar com argumentos e exemplos.
Passo 2
Definição precisa de vetores paralelos (a principal ferramenta que vou usar).
Dizemos que é paralelo a
se existe um escalar
tal que
Dizemos que
Aqui
é um número real. Interpretações:
- se
, e têm o mesmo sentido (apontam para o mesmo lado); - se
, têm sentidos opostos; - se
, então (o vetor nulo) que é considerado paralelo a qualquer vetor porque .
Passo 3
Definição de igualdade de vetores (o que significa
).
Do ponto de vista algébrico, significa que todos os componentes correspondentes de
e
são iguais (ou geometricamente: mesma direção, mesmo sentido e mesma magnitude). Em termos de escalares, se
então para que
seja verdade precisamos ter
(exceto no caso especial em que
, que merece atenção à parte).
Do ponto de vista algébrico,
Passo 4
Ligando as duas definições: se
e
são paralelos, então existe
com
Para que também valha
deve ocorrer
Dessa igualdade seguem duas possibilidades:
ou
. Portanto, em geral a paralelidade não garante igualdade — só garante igualdade quando
(ou quando
e então
também).
Passo 5
Contraexemplo numérico simples (a forma mais direta de mostrar que a afirmação é falsa).
Considere vetores em :
Considere vetores em
Temos
, logo
e
são paralelos (com
). Mas claramente
porque
. Isso mostra que a afirmação “paralelos então iguais” é falsa.
Passo 6
Observações finais e casos especiais (para você usar na prova):
- Se
e são paralelos e o escalar que relaciona é , então sim . - Se um dos vetores é o vetor nulo,
, então é paralelo a qualquer vetor; nesse caso a igualdade só ocorre se o outro também for . - Em qualquer outro caso (por exemplo
e ) os vetores são paralelos mas não iguais.
Resposta
Falsa.