Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se vec{u}=vec{v}, então vec{u} e vec{v} são paralelos.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação seguinte e pede que se decida se é verdadeira ou falsa, justificando:
  • Afirmação: “Se \vec{u}=\vec{v}, então \vec{u} e \vec{v} são paralelos.”
Informações fornecidas:
  • Existem dois vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • Foi dada a igualdade \vec{u}=\vec{v}.
O que é pedido:
  • Dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar por que.

Passo 2

Definição de igualdade de vetores (explicação didática):
  • Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são iguais, \vec{u}=\vec{v}, quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo (comprimento). Em termos coordenados, isso significa que todas as componentes correspondentes são iguais. Por exemplo, \vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(2,3) são iguais.

Passo 3

Definição de vetores paralelos (explicação didática):
  • Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são ditos paralelos (ou colineares) se existe um escalar \lambda tal que
\vec{u}=\lambda\,\vec{v}.
  • Isso significa geometricamente que eles têm a mesma direção ou direções opostas (dependendo do sinal de \lambda); podem ter comprimentos diferentes. Exemplo: (4,6) é paralelo a (2,3) porque (4,6)=2(2,3).

Passo 4

Aplicando as definições ao caso \vec{u}=\vec{v}:
  • Se \vec{u}=\vec{v}, então podemos escrever
\vec{u}=1\cdot\vec{v},
ou seja, escolhemos \lambda=1. Isso satisfaz exatamente a condição da definição de paralelismo \vec{u}=\lambda\vec{v}. Portanto qualquer par de vetores iguais satisfaz a existência de um \lambda (no caso \lambda=1) que mostra que são paralelos.

Passo 5

Observação sobre o vetor nulo (para cobrir um possível detalhe que gera dúvida):
  • Mesmo no caso em que \vec{u}=\vec{v}=\vec{0} (o vetor nulo), a escrita \vec{u}=1\cdot\vec{v} continua válida, logo a conclusão não falha. Alguns autores discutem se o vetor nulo deve ser considerado “paralelo” a todos os vetores, mas aqui isso não cria contradição: a igualdade implica paralelismo via \lambda=1.

Resposta

Verdadeira.

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