Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se
, então
e
são paralelos.
Considere as seguintes afirmações sobre vetores:
Se
Passo 1
O enunciado dá a afirmação seguinte e pede que se decida se é verdadeira ou falsa, justificando:
- Afirmação: “Se
, então e são paralelos.”
Informações fornecidas:
- Existem dois vetores
e . - Foi dada a igualdade
.
O que é pedido:
- Dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar por que.
Passo 2
Definição de igualdade de vetores (explicação didática):
- Dois vetores
e são iguais, , quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo (comprimento). Em termos coordenados, isso significa que todas as componentes correspondentes são iguais. Por exemplo, e são iguais.
Passo 3
Definição de vetores paralelos (explicação didática):
- Dois vetores
e são ditos paralelos (ou colineares) se existe um escalar tal que
- Isso significa geometricamente que eles têm a mesma direção ou direções opostas (dependendo do sinal de
); podem ter comprimentos diferentes. Exemplo: é paralelo a porque .
Passo 4
Aplicando as definições ao caso
:
- Se
, então podemos escrever
ou seja, escolhemos
. Isso satisfaz exatamente a condição da definição de paralelismo
. Portanto qualquer par de vetores iguais satisfaz a existência de um
(no caso
) que mostra que são paralelos.
Passo 5
Observação sobre o vetor nulo (para cobrir um possível detalhe que gera dúvida):
- Mesmo no caso em que
(o vetor nulo), a escrita continua válida, logo a conclusão não falha. Alguns autores discutem se o vetor nulo deve ser considerado “paralelo” a todos os vetores, mas aqui isso não cria contradição: a igualdade implica paralelismo via .
Resposta
Verdadeira.