Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
3. Se [v1, v2, w]=[v3, v4, w] então [v1, v2]=[v3, v4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para determinar se a afirmação "Se então " é verdadeira ou falsa. Aqui, estamos trabalhando com determinantes de matrizes, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como os determinantes funcionam e como eles estão relacionados entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que os colchetes significam. representa o determinante de uma matriz 3x3 cujas colunas são os vetores , e . Da mesma forma, representa o determinante de uma matriz 2x2 cujas colunas são os vetores e .

Passo 3

A igualdade nos diz que os determinantes das duas matrizes 3x3 são iguais. Queremos saber se isso implica que os determinantes das matrizes 2x2 correspondentes ( e ) também são iguais.

Passo 4

Para verificar isso, vamos considerar um exemplo concreto. Suponha que seja um vetor não nulo. Se , isso significa que a combinação linear dos vetores e com resulta no mesmo determinante que a combinação dos vetores e com .

Passo 5

No entanto, isso não garante necessariamente que . É possível que e sejam diferentes de e de tal forma que, apesar das diferenças individuais, os determinantes com acabem sendo iguais. Portanto, a igualdade dos determinantes 3x3 não implica necessariamente a igualdade dos determinantes 2x2.

Resposta

Falsa. A igualdade não garante que , pois diferentes pares de vetores podem produzir o mesmo determinante quando combinados com , mas ter determinantes diferentes entre si.

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