Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V. Mostre que o subespaço de V gerado por X é igual à interseção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos A, B são iguais o truque é mostrar que A subseteq B e que B subseteq A.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por X o

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o subespaço gerado por um conjunto dentro de um espaço vetorial é igual à interseção de todos os subespaços de que contêm . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços e geração de subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço gerado e como funciona a interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o subespaço gerado por . Esse subespaço, denotado por , é o menor subespaço de que contém todos os vetores de . Em outras palavras, é formado por todas as combinações lineares dos vetores de .

Passo 3

Agora, vamos entender a interseção de todos os subespaços de que contêm . Pense em todos os subespaços que têm dentro deles e imagine pegar só os pontos que estão em todos esses subespaços ao mesmo tempo. Essa interseção será o menor conjunto que está em todos esses subespaços, ou seja, o menor subespaço que contém .

Passo 4

Para mostrar que é igual a essa interseção, seguimos a dica: provar duas inclusões. Primeiro, mostrar que está dentro da interseção. Depois, mostrar que a interseção está dentro de .

Passo 5

Primeira inclusão: Como é um subespaço que contém , ele está em todas as interseções desses subespaços. Então, éç.
Segunda inclusão: Qualquer vetor que está na interseção de todos os subespaços que contêm deve estar em , pois é justamente o menor desses subespaços. Assim, éç.

Resposta

Portanto, concluímos que o subespaço gerado por span(X) = cap S subseteq V mid S é subespaço e X subseteq S é igual à interseção de todos os subespaços de que contêm , ou seja:
éç

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