Sejam X um conjunto e V um espaço vetorial.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em F(X, V).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente definir como funciona a soma e o produto por escalar no conjunto F(X, V), onde X é um conjunto e V é um espaço vetorial. Basicamente, F(X, V) representa todas as funções que levam elementos de X para V. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operações de soma e produto por escalar em espaços vetoriais e como aplicá-las no contexto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e essas operações seguem certas regras, como a comutatividade e associatividade da soma, existência de um vetor zero, entre outras.
No nosso caso, os “vetores” são as funções de X para V. Então, queremos definir como somar duas funções e como multiplicar uma função por um escalar.

Passo 3

Vamos começar definindo a soma de duas funções. Se temos duas funções f e g em F(X, V), a soma f + g é definida função a função. Isso significa que para cada elemento x de X, a soma (f + g)(x) é igual à soma dos valores de f(x) e g(x) no espaço vetorial V.
Matematicamente, podemos escrever:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Aqui, o símbolo + do lado direito representa a soma no espaço vetorial V.

Passo 4

Agora, vamos definir o produto por escalar. Se temos uma função f em F(X, V) e um escalar a (que pertence ao campo sobre o qual o espaço vetorial V está definido, como os números reais), o produto a cdot f é também uma função de X para V. Para cada elemento x de X, o valor de (a cdot f)(x) é igual ao escalar a multiplicado pelo valor de f(x) no espaço vetorial V.
Ou seja:
(a cdot f)(x) = a cdot f(x)
Aqui, o cdot representa a multiplicação escalar no espaço vetorial V.

Passo 5

Essas definições garantem que F(X, V) com essas operações de soma e produto por escalar satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial. Isso inclui a existência de um elemento neutro (a função zero), a existência de inversos aditivos, e a compatibilidade das operações com os axiomas dos espaços vetoriais.

Resposta

Portanto, em F(X, V), as operações são definidas da seguinte forma:
  • Soma de funções: Para quaisquer f, g in F(X, V), a soma (f + g) é dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x in X.
  • Produto por escalar: Para qualquer escalar a e função f in F(X, V), o produto a cdot f é definido por (a cdot f)(x) = a cdot f(x) para todo x in X.

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