Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
  1. Se v1+3 v2-v3=0 e 2 v1-v2-v3=0 então [v1, v2, v3]=[v3].

Passo 1

Beleza, a gente tem um problema que envolve três vetores e e duas equações que relacionam eles. Esse lance é de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e espaços gerados por vetores. Vamos precisar resolver essas equações pra entender como os vetores se relacionam e determinar se o espaço gerado por é realmente igual ao espaço gerado só por .

Passo 2

Primeiro, vamos listar as equações que a gente tem:
v1 + 3 v2 - v3 = 0 2 v1 - v2 - v3 = 0
Nossa missão é descobrir se, com essas relações, o espaço formado por é igual ao espaço formado apenas por .

Passo 3

Vamos começar isolando um dos vetores. Da primeira equação:
v1 = -3 v2 + v3
Agora, vamos substituir essa expressão de 2(-3 v2 + v3) - v2 - v3 = 0 na segunda equação:

Passo 4

Vamos simplificar a equação que apareceu:
-6 v2 + 2 v3 - v2 - v3 = 0
-7 v2 + v3 = 0
Daí, isolando v3 = 7 v2 :

Passo 5

Agora que sabemos que v1 = -3 v2 + v3 = -3 v2 + 7 v2 = 4 v2 , vamos voltar à expressão para :

Passo 6

Então, resumindo, temos:
v1 = 4 v2
v3 = 7 v2
Isso mostra que tanto quanto são múltiplos de .

Passo 7

Se todos os vetores são múltiplos de [v1, v2, v3] = [v2] , significa que o espaço gerado por é o mesmo que o espaço gerado apenas por . Ou seja:

Passo 8

A afirmação que queríamos verificar era se [v1, v2, v3] = [v2] neq [v3] . Pelo que vimos, na verdade:

Resposta

Falsa. O espaço gerado por é igual a , não .

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