Determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa, justificando.
x0 está no domínio da função real f de uma variável real se, e somente se, a reta vertical x=x0 intercepta o gráfico de f exatamente uma vez.

Passo 1

Então, temos que verificar se a afirmação “x₀ está no domínio da função real f de uma variável real se, e somente se, a reta vertical x = x₀ intercepta o gráfico de f exatamente uma vez” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como uma reta vertical interage com o gráfico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio de uma função real f(x) é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida, ou seja, para os quais f(x) produz um resultado real.

Passo 3

Agora, vamos pensar no gráfico de uma função. O gráfico de f(x) é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) no plano cartesiano. Se desenharmos uma reta vertical x = x₀, estamos basicamente traçando uma linha que passa por todos os pontos onde x é igual a x₀, independente do valor de y.

Passo 4

Para que a reta vertical x = x₀ intercepte o gráfico de f(x) exatamente uma vez, isso significa que existe um único valor de y tal que (x₀, y) está no gráfico de f. Em outras palavras, existe um único f(x₀).

Passo 5

Se existe exatamente um f(x₀), então x₀ está no domínio da função, pois f(x₀) está definido. Por outro lado, se x₀ não está no domínio, significa que f(x₀) não está definido, e a reta vertical x = x₀ não intersecta o gráfico da função em nenhum ponto.

Passo 6

Portanto, a afirmação “x₀ está no domínio de f se, e somente se, a reta vertical x = x₀ intercepta o gráfico de f exatamente uma vez” está relacionando diretamente a definição do domínio com a interseção da reta vertical com o gráfico da função.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois x₀ pertence ao domínio de f se e somente se a reta vertical x = x₀ intersecta o gráfico de f exatamente uma vez.

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