Determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa, justificando.
está no domínio da função real
de uma variável real se, e somente se, a reta vertical
intercepta o gráfico de
exatamente uma vez.
Passo 1
Então, temos que verificar se a afirmação “x₀ está no domínio da função real f de uma variável real se, e somente se, a reta vertical x = x₀ intercepta o gráfico de f exatamente uma vez” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como uma reta vertical interage com o gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio de uma função real f(x) é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida, ou seja, para os quais f(x) produz um resultado real.
Passo 3
Agora, vamos pensar no gráfico de uma função. O gráfico de f(x) é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) no plano cartesiano. Se desenharmos uma reta vertical x = x₀, estamos basicamente traçando uma linha que passa por todos os pontos onde x é igual a x₀, independente do valor de y.
Passo 4
Para que a reta vertical x = x₀ intercepte o gráfico de f(x) exatamente uma vez, isso significa que existe um único valor de y tal que (x₀, y) está no gráfico de f. Em outras palavras, existe um único f(x₀).
Passo 5
Se existe exatamente um f(x₀), então x₀ está no domínio da função, pois f(x₀) está definido. Por outro lado, se x₀ não está no domínio, significa que f(x₀) não está definido, e a reta vertical x = x₀ não intersecta o gráfico da função em nenhum ponto.
Passo 6
Portanto, a afirmação “x₀ está no domínio de f se, e somente se, a reta vertical x = x₀ intercepta o gráfico de f exatamente uma vez” está relacionando diretamente a definição do domínio com a interseção da reta vertical com o gráfico da função.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois x₀ pertence ao domínio de f se e somente se a reta vertical x = x₀ intersecta o gráfico de f exatamente uma vez.