Determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa, justificando.
está no contradomínio da função real
de uma variável real se, e somente se, a reta horizontal
intercepta o gráfico de
pelo menos uma vez.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma questão sobre funções reais de uma variável real. Precisamos descobrir se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como contradomínio e como as retas horizontais interagem com o gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o contradomínio de uma função. O contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir, ou seja, todos os valores que poderiam ser resultados da função, independentemente de eles realmente serem atingidos ou não.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que um valor $ y_{0} $ está no contradomínio da função $ f $ se, e somente se, a reta horizontal $ y = y_{0} $ intercepta o gráfico de $ f $ pelo menos uma vez. Vamos analisar isso.
Passo 4
Se a reta $ y = y_{0} $ intercepta o gráfico de $ f $ pelo menos uma vez, isso significa que existe pelo menos um valor de $ x $ para o qual $ f(x) = y_{0} $. Portanto, $ y_{0} $ está realmente no contradomínio porque a função atinge esse valor.
Passo 5
Por outro lado, se $ y_{0} $ está no contradomínio da função $ f $, isso significa que $ y_{0} $ é um possível valor que a função pode assumir. Mas importante: estar no contradomínio não garante que a função realmente atinja esse valor. O contradomínio inclui todos os valores possíveis, mesmo aqueles que nunca são realmente obtidos pela função.
Passo 6
Então, se $ y_{0} $ está no contradomínio, mas a função nunca atinge esse valor, a reta $ y = y_{0} $ não intercepta o gráfico da função. Isso mostra que a afirmação “se e somente se” não é verdadeira, porque ter $ y_{0} $ no contradomínio não garante que a reta $ y = y_{0} $ corte o gráfico.
Resposta
Falsa. A afirmação não é verdadeira porque o contradomínio inclui todos os possíveis valores de saída da função, mas nem todos necessariamente são atingidos pelo gráfico da função. Portanto, a reta horizontal $ y = y_{0} $ pode não interceptar o gráfico mesmo que $ y_{0} $ esteja no contradomínio.