Determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa, justificando.
está no imagem da função real
de uma variável real se, e somente se, a reta horizontal
intercepta o gráfico de
exatamente uma vez.
Passo 1
O enunciado pergunta se “y₀ está na imagem de f se, e somente se, a reta y = y₀ intercepta o gráfico de f exatamente uma vez”. O conteúdo é imagem de função real de variável real e interceptação de reta horizontal no gráfico.
Passo 2
Suponha que a reta y = y₀ intercepte o gráfico de f exatamente uma vez. Isso significa que existe exatamente um x₀ tal que f(x₀)=y₀, logo y₀ pertence à imagem de f (por definição de imagem, basta existir algum x com f(x)=y₀).
Passo 3
Por outro lado, se y₀ pertence à imagem de f então existe pelo menos um x₀ tal que f(x₀)=y₀, então a reta y = y₀ intercepta o gráfico em pelo menos um ponto. Porém, pode interceptar mais de uma vez se houver vários x com f(x)=y₀. Por exemplo, f(x)=x² e y₀=1 dão interseções em x=1 e x=-1, ou seja, duas interseções, mas 1 está na imagem.
Passo 4
Como vimos, a condição “pertencer à imagem” exige pelo menos uma interseção, não exatamente uma. A afirmação original exige interseção única em ambos os sentidos (se e somente se), o que falha na segunda direção. Assim, a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa.