Determine, em cada caso, V cap W e V+W :
V=(x, y, z) in R^3: x=y, W=(x, y, z) in R^3: x=y=z;

Passo 1

O enunciado pede para determinar a interseção Vcap W e a soma V+W, onde
V = (x,y,z)in R^3 : x=y
é um plano de R^3 e
W = (x,y,z)in R^3 : x=y=z
é a reta diagonal. Vamos usar as definições de interseção e soma de subespaços vetoriais.

Passo 2

Mostramos que Wsubseteq V. De fato, seja (x,y,z)in W. Então x=y=z, em particular x=y, o que implica (x,y,z)in V. Logo
Wsubseteq V

Passo 3

Como Wsubseteq V, a interseção de V e W é exatamente W. Portanto
Vcap W ;=; W ;=;(t,t,t):tin R

Passo 4

A soma de subespaços é definida por
V+W = v+w : vin V,;win W
Como Wsubseteq V, para todo vin V e win W temos v+win V. Por outro lado, dado qualquer vin V, basta tomar w=(0,0,0)in W para escrever v = v+w. Assim
V+W = V

Resposta

Vcap W = (t,t,t):tin R
V+W = (x,y,z)in R^3 : x=y

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