8 Seja T: E F uma transformação linear. Suponha que, dim(E)=n e dim(mid F)=m. Mostre que, se n>m, então T não é injetiva e que se n<m, então T não é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas consequências do Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem) para uma transformação linear Tcolon EtoF, sabendo que dim(E)=n e dim(F)=m. Vamos usar o fato de que
dim(ker T)+dim(ImT)=dim(E)=n
e que dim(ImT)<=dim(F)=m.

Passo 2

Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
dim(ker T)+dim(ImT)=n
Além disso, como ImT é subespaço de F, vale
dim(ImT)<= m

Passo 3

Caso n>m.
Como dim(ImT)<= m, concluímos
dim(ker T)=n-dim(ImT)>= n-m>0
Ou seja, ker T tem dimensão positiva, logo contém vetores não nulos. Isso significa que T não é injetiva.

Passo 4

Caso n<m.
Novamente dim(ImT)<= n (porque dim(ImT)=n-dim(ker T)<= n). Como n<m, segue
dim(ImT)<= n<m
Logo ImT é um subespaço próprio de F, de dimensão estritamente menor que m, e portanto não atinge todo F. Isso mostra que T não é sobrejetiva.

Resposta

Se n>m, então T não é injetiva.
Se n<m, então T não é sobrejetiva.

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