8 Seja
uma transformação linear. Suponha que,
e
. Mostre que, se
, então
não é injetiva e que se
, então
não é sobrejetiva.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas consequências do Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem) para uma transformação linear
, sabendo que
e
. Vamos usar o fato de que
e que
.
Passo 2
Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
Além disso, como
é subespaço de
, vale
Passo 3
Caso
.
Como , concluímos
Como
Ou seja,
tem dimensão positiva, logo contém vetores não nulos. Isso significa que
não é injetiva.
Passo 4
Caso
.
Novamente (porque
). Como
, segue
Novamente
Logo
é um subespaço próprio de
, de dimensão estritamente menor que
, e portanto não atinge todo
. Isso mostra que
não é sobrejetiva.
Resposta
Se
, então
não é injetiva.
Se , então
não é sobrejetiva.
Se