Sejam e .
(a) Encontre a matriz mudança de base de para .
(b) Encontre as coordenadas de cada um dos vetores a seguir em relação a [ , ].
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado dá três vetores
e pede (a) a matriz de mudança de base de para e (b) as coordenadas de alguns vetores em relação à base .
Para resolver isso, usamos que, se
é a matriz cujas colunas são as coordenadas de na base canônica, então para qualquer vetor valem
Logo, a matriz de mudança de base de canônica para é .
Passo 2
Montamos
Calculamos o determinante para verificar que P é invertível:
det P = 1cdot(2cdot4-3cdot2)-1cdot(1cdot4-3cdot1)+2cdot(1cdot2-2cdot1) =2-1+0=1neq0
Passo 3
Para achar P^-1 usamos a matriz dos cofatores e transpondo (ou eliminação de Gauss). O resultado é
P^-1 = 2 & 0 & -1 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1
Passo 4
Agora, para cada vetor v dado em coordenadas canônicas, suas coordenadas em u1,u2,u3 são