Sejam u1=(1,1,1)^T, u2=(1,2,2)^T e u3=(2,3,4)^T.
(a) Encontre a matriz mudança de base de [e1, e2, e3] para [u1, u2, u3].
(b) Encontre as coordenadas de cada um dos vetores a seguir em relação a a [ u1, u2, u3 ].
(i) (3,2,5)^T
(ii) (1,1,2)^T
(iii) (2,3,2)^T

Passo 1

O enunciado dá três vetores
u1=(1,1,1)^T, u2=(1,2,2)^T, u3=(2,3,4)^T
e pede (a) a matriz de mudança de base de e1,e2,e3 para u1,u2,u3 e (b) as coordenadas de alguns vetores em relação à base u1,u2,u3.
Para resolver isso, usamos que, se
P = [,u1;u2;u3]
é a matriz cujas colunas são as coordenadas de u1,u2,u3 na base canônica, então para qualquer vetor v valem
[v]e = P,[v]u Longrightarrow [v]u = P^-1,[v]e
Logo, a matriz de mudança de base de canônica para u1,u2,u3 é P^-1.

Passo 2

Montamos
P = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 1 & 2 & 4
Calculamos o determinante para verificar que P é invertível:
det P = 1cdot(2cdot4-3cdot2)-1cdot(1cdot4-3cdot1)+2cdot(1cdot2-2cdot1) =2-1+0=1neq0

Passo 3

Para achar P^-1 usamos a matriz dos cofatores e transpondo (ou eliminação de Gauss). O resultado é
P^-1 = 2 & 0 & -1 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1

Passo 4

Agora, para cada vetor v dado em coordenadas canônicas, suas coordenadas em u1,u2,u3 são
[v]u = P^-1,v
(i) Para v=(3,2,5)^T:
[v]u = 2 & 0 & -1 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1 325 = 1-43
(ii) Para v=(1,1,2)^T:
[v]u = 2 & 0 & -1 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1 112 = 0-11
(iii) Para v=(2,3,2)^T:
[v]u = 2 & 0 & -1 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1 232 = 22-1

Resposta

(a) A matriz de mudança de base de e1,e2,e3 para u1,u2,u3 é
P^-1 = 2 & 0 & -1 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1
(b) As coordenadas dos vetores são
(i) l(1,-4,3r)^T
(ii) l(0,-1,1r)^T
(iii) l(2,2,-1r)^T.

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