Determine, em cada caso, V cap W e V+W :
V=(x, y, z) in R^3: x+2 y-z=0, W=(x, y, z) in R^3: x-y+z=0;

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos a interseção Vcap W e a soma V+W de dois subespaços de R^3 definidos pelas equações lineares
V=(x,y,z)inR^3mid x+2y-z=0,
W=(x,y,z)inR^3mid x-y+z=0
O que precisamos é parametrizar cada subespaço, achar sua base, depois resolver o sistema conjunto para Vcap W e usar a fórmula de dimensão para V+W.

Passo 2

Parametrizamos V e W para obter bases:
Para V: da equação x+2y-z=0 temos x=z-2y. Tomando parâmetros s=y e t=z,
(x,y,z)=(t-2s,s,t)=s(-2,1,0)+t(1,0,1)
Assim uma base de V é
,(-2,1,0),;(1,0,1)
Para W: da equação x-y+z=0 vem x=y-z. Com parâmetros u=y e v=z,
(x,y,z)=(u-v,u,v)=u(1,1,0)+v(-1,0,1)
Logo uma base de W é
, (1,1,0),;(-1,0,1)

Passo 3

Para
Da segunda equação . Logo
Escolhendo parâmetro para limpar frações, fica
Portanto

Passo 4

Para V+W usamos a fórmula de dimensões:
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)=2+2-1=3
Como R^3 tem dimensão 3, concluímos que V+W=R^3.

Resposta

Vcap W=,t(-1,2,3)mid tinR.
V+W=R^3.

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