Determine, em cada caso, os valores reais de k para que um ponto P(-k,-2 k+1) pertença ao:
a) 1^circ quadrante;
b) 2^circ quadrante;
c) 3^circ quadrante;
d) 4^circ quadrante.
Resposta: a) k<0
b) 0
c) k>1 / 2
d) não tem.

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de k tais que o ponto P(-k, -2k+1) caia em cada um dos quatro quadrantes do plano cartesiano. O conteúdo usado aqui é geometria analítica básica, em que definimos cada quadrante pelos sinais de x e y.

Passo 2

Para o 1 ^circ quadrante precisamos ter x>0 e y>0. Como x=-k, a condição -k>0 implica
k<0
E como y=-2k+1, a condição -2k+1>0 leva a
-2k> -1Longrightarrow k
A interseção de k<0 e k é simplesmente k<0.

Passo 3

No 2 ^circ quadrante temos x<0 e y>0. A partir de x=-k<0 vem
k>0
e de y=-2k+1>0 já vimos que
k
Logo, 0.

Passo 4

No 3 ^circ quadrante queremos x<0 e y<0. De x=-k<0 tiramos
k>0
e de y=-2k+1<0 obtemos
-2k< -1Longrightarrow k>tfrac12
A interseção de k>0 e k>tfrac12 é k>tfrac12.

Passo 5

No 4 ^circ quadrante precisamos de x>0 e y<0. A condição -k>0 k<0 e -2k+1<0 k>tfrac12. Não há k que satisfaça simultaneamente as duas, ou seja, nenhum valor de k.

Resposta

a) k<0
b) 0
c) k>tfrac12
d) nenhum valor de k

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