Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços:
[cc1 & -5 -4 & 0],[ll1 & 2 3 & 1],[cc3 & -1 2 & 2] em M2 times 2.

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M2times2:
A1 = 1 & -5 -4 & 0, A2 = 1 & 2 3 & 1, A3 = 3 & -1 2 & 2,
e pede para verificar se são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a definição: analisar a combinação linear
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0
e ver se obrigatoriamente c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 2

Decompondo a combinação
c1 1 & -5 -4 & 0 + c2 1 & 2 3 & 1 + c3 3 & -1 2 & 2 = 0 & 0 0 & 0,
obtemos o sistema de equações:
c1 + c2 + 3c3 = 0, -5c1 + 2c2 - c3 = 0, -4c1 + 3c2 + 2c3 = 0, c2 + 2c3 = 0

Passo 3

Da quarta equação segue
c2 = -2c3
Substituindo na primeira equação,
c1 + (-2c3) + 3c3 = 0 implies c1 + c3 = 0 implies c1 = -c3

Passo 4

Com c1 = -c3 e c2 = -2c3, as outras equações ficam
-5(-c3) + 2(-2c3) - c3 = 0, -4(-c3) + 3(-2c3) + 2c3 = 0,
ambas se reduzem a 0=0, ou seja, não impõem nova condição. Logo existe solução não trivial (por exemplo c3=1, c1=-1, c2=-2).

Passo 5

Como há coeficientes não todos nulos que anulam a combinação, concluímos que os vetores-matriz são linearmente dependentes. Em particular,
A3 = A1 + 2A2

Resposta

As matrizes A1, A2 e A3 são linearmente dependentes em M2times2.

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