Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços:
em
M2 times 2 .
Passo 1
O enunciado nos dá três matrizes em
M2times2 :
e pede para verificar se são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a definição: analisar a combinação linear
e ver se obrigatoriamente
c1 = c2 = c3 = 0 .
Passo 2
Decompondo a combinação
obtemos o sistema de equações:
Passo 3
Da quarta equação segue
Substituindo na primeira equação,
Passo 4
Com
c1 = -c3 e
c2 = -2c3 , as outras equações ficam
ambas se reduzem a
0=0 , ou seja, não impõem nova condição. Logo existe solução não trivial (por exemplo
c3=1 ,
c1=-1 ,
c2=-2 ).
Passo 5
Como há coeficientes não todos nulos que anulam a combinação, concluímos que os vetores-matriz são linearmente dependentes. Em particular,
Resposta
As matrizes
A1 ,
A2 e
A3 são linearmente dependentes em
M2times2 .