Dê exemplos:
de um subconjunto de R^2 que não seja um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para dar exemplos de subconjuntos de R^2 que não sejam subespaços vetoriais de R^2. O conteúdo principal aqui é a definição de subespaço vetorial, e vamos usar os critérios de subespaço para verificar por que cada exemplo falha.

Passo 2

Lembrando que um subconjunto Wsubseteq R^2 é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três condições:
  1. O vetor zero (0,0) pertence a W.
  2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se uin W e alphainR então alpha uin W.
Para mostrar que um conjunto não é subespaço, basta ver que pelo menos uma dessas condições falha.

Passo 3

Exemplo 1: o círculo unidade.
S1 = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 = 1
Este conjunto falha na condição 1, pois (0,0)notin S1. Além disso, falha na condição 3: por exemplo, (1,0)in S1 mas tfrac12,(1,0)=(tfrac12,0)notin S1.

Passo 4

Exemplo 2: uma reta affine que não passa pela origem.
S2 = (x,y)inR^2 mid x + y = 1
Aqui também (0,0)notin S2, então a condição 1 já falha. Além disso, se (1,0)in S2 e (0,1)in S2, então sua soma (1,1)notin S2, falhando a condição 2.

Resposta

S1 = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 = 1
S2 = (x,y)inR^2 mid x + y = 1

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