Construa os segmentos x e y, dados pelos sistemas:
cx^2+y^2=a^2 x y=b^2

Passo 1

O enunciado pede que, dadas as longitudes dos segmentos
O conteúdo que vamos usar é a transformação para as variáveis soma e diferença:
pois com elas fica fácil obter expressões de .

Passo 2

Defina s=x+y.
Como x^2+y^2=a^2 e x,y=b^2, temos
s^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy = a^2+2b^2
Logo
s = raiz,a^2+2b^2,

Passo 3

Defina d=|x-y|.
Então
d^2=(x-y)^2=x^2+y^2-2xy = a^2-2b^2,
de onde
d = raiz,a^2-2b^2,

Passo 4

Resolvendo o sistema em função de s e d, obtemos
x = s+d2, y = s-d2
Basta agora construir geometricamente os segmentos s e d e depois suas metades somada e subtraída.

Passo 5

Construção de s=raiza^2+2b^2 e de d=raiza^2-2b^2:
  1. Com régua e compasso, construa o segmento raiz2,b traçando o quadrado de lado b e tomando sua diagonal.
  2. Para s, desenhe um triângulo retângulo de catetos a e raiz2,b; sua hipotenusa vale raiza^2+2b^2.
  3. Para d, desenhe um triângulo retângulo de hipotenusa a e um cateto raiz2,b; o outro cateto vale raiza^2-2b^2.

Passo 6

Construção de x e y a partir de s e d:
  1. Para x=(s+d)/2: sobre uma reta, marque consecutivamente s e depois d, formando o segmento total de comprimento s+d. Depois basta bisectar esse segmento; cada metade vale tfracs+d2=x.
  2. Para y=(s-d)/2: em outra reta, a partir de um ponto comum, marque primeiro d e depois s no mesmo sentido. A parte que sobra entre o final de d e o final de s tem comprimento s-d. Basta bisetar esse trecho; cada metade vale tfracs-d2=y.

Resposta

Os comprimentos construídos são
x = raiza^2+2b^2 + raiza^2-2b^22, y = raiza^2+2b^2 - raiza^2-2b^22

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