1. Determine, em cada um dos casos, os subespaços U+W e U \cap W de M_{2}(\mathbb{R}) e verifique se o subespaço U+W é uma soma direta.
    (a) U=\left\{\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R}) ; a_{11}=-a_{12}\right. e \left.a_{21}=a_{22}\right\} \quad e
    W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R}) ; a_{11}-a_{12}-a_{21}+a_{22}=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em M_{2}(\mathbb{R}), os subespaços U+W e U\cap W dados por
U=\Bigl\{A=(a_{ij})\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{11}=-a_{12},\;a_{21}=a_{22}\Bigr\}
W=\Bigl\{A=(a_{ij})\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{11}-a_{12}-a_{21}+a_{22}=0\Bigr\}
e verificar se U+W é soma direta. Vamos precisar expressar elementos genéricos de U e de W, achar a interseção, e depois usar contagem de dimensão para U+W.

Passo 2

Descrição de U. Se
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in U,
então a_{11}=-a_{12} e a_{21}=a_{22}. Chamando x=a_{12} e y=a_{21}, temos
A=\begin{pmatrix}-x & x \\\ y & y\end{pmatrix} =x\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Logo \dim U=2 e uma base é \{E_1,E_2\} com
E_1=\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Descrição de W. Se
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in W,
então a-b-c+d=0, ou seja d=b+c-a. Assim
A=\begin{pmatrix}a&b\c&b+c-a\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Daí \dim W=3 e podemos tomar como base os três matrizes acima.

Passo 4

Cálculo de U\cap W. Um A\in U\cap W satisfaz a_{11}=-a_{12}=:-b, a_{21}=a_{22}=:y e
a_{11}-a_{12}-a_{21}+a_{22} =-b - b - y + y =-2b =0\;\Longrightarrow\;b=0.
Então a_{12}=0, a_{11}=0, e y fica livre. Logo
U\cap W =\Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\y&y\end{pmatrix}:y\in\mathbb{R}\Bigr\} =\mathrm{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}\Bigr\},
portanto \dim(U\cap W)=1.

Passo 5

Cálculo de U+W. Pela fórmula de dimensão de soma,
\dim(U+W) =\dim U+\dim W-\dim(U\cap W) =2+3-1 =4.
Como \dim M_{2}(\mathbb{R})=4, segue que U+W=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 6

Verificação de soma direta. A soma é direta se e só se U\cap W=\{0\}. Aqui U\cap W é de dimensão 1, não trivial, logo U+W\text{ não é soma direta.}ãé

Resposta

U+W = M_{2}(\mathbb{R}) U\cap W = \Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\y&y\end{pmatrix}:y\in\mathbb{R}\Bigr\}
A soma U+W não é direta.

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