- Determine, em cada um dos casos, os subespaços
e
de
e verifique se o subespaço
é uma soma direta.
(a)
e
e
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para determinar, em
, os subespaços
e
dados por
e verificar se
é soma direta. Vamos precisar expressar elementos genéricos de
e de
, achar a interseção, e depois usar contagem de dimensão para
.
Passo 2
Descrição de
. Se
então
e
. Chamando
e
, temos
Logo
e uma base é
com
Passo 3
Descrição de
. Se
então
, ou seja
. Assim
Daí
e podemos tomar como base os três matrizes acima.
Passo 4
Cálculo de
. Um
satisfaz
,
e
Então
,
, e
fica livre. Logo
portanto
.
Passo 5
Cálculo de
. Pela fórmula de dimensão de soma,
Como
, segue que
.
Passo 6
Verificação de soma direta. A soma é direta se e só se
. Aqui
é de dimensão 1, não trivial, logo
Resposta
A soma