Verifique em cada um dos casos se W é um subespaço de \mathbb{R}^{4} espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x+y-z+2 t=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \mid x + y - z + 2t = 0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4.
Conteúdo: teoria de subespaço vetorial. Precisamos checar três propriedades:
  1. Existência do vetor zero em W.
  2. Fechamento de W sob adição.
  3. Fechamento de W sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) pertence a W.
Substituindo em x+y-z+2t=0:
0 + 0 - 0 + 2\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0,0)\in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob adição.
Sejam (x_1,y_1,z_1,t_1) e (x_2,y_2,z_2,t_2) em W. Então
x_1 + y_1 - z_1 + 2t_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 + y_2 - z_2 + 2t_2 = 0.
Somando as duas igualdades:
(x_1+x_2) + (y_1+y_2) - (z_1+z_2) + 2(t_1+t_2) = 0.
Portanto (x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,z_1+z_2,\,t_1+t_2) satisfaz a equação linear e pertence a W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação escalar.
Se (x,y,z,t)\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então
x+y-z+2t = 0.
Multiplicando por \lambda:
\lambda x + \lambda y - \lambda z + 2(\lambda t) = \lambda\,(x+y-z+2t) = \lambda\cdot 0 = 0.
Assim (\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t)\in W.

Resposta

W é de fato um subespaço de \mathbb{R}^4, pois contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar.

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