Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
O conjunto das funções
em
tais
.
O conjunto das funções
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que
-
contém o vetor zero; -
é fechado sob soma; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o zero vetorial de
, isto é, a função
satisfaz
. Logo,
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
, então
Para
temos
logo
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
. Definindo
,
portanto
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto das funções
em
tais que
é um subespaço de
.