Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de C[-1,1].
O conjunto das funções f em C[-1,1] tais f(-1)=f(1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,f in C[-1,1]mid f(-1)=f(1)
é um subespaço vetorial de C[-1,1]. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que
  1. S contém o vetor zero;
  2. S é fechado sob soma;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o zero vetorial de C[-1,1], isto é, a função
f0(x)=0forall xin[-1,1],
satisfaz f0(-1)=0=f0(1). Logo, f0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,gin S, então
f(-1)=f(1) e g(-1)=g(1)
Para h=f+g temos
h(-1)=f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)=h(1),
logo f+gin S.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja fin S e cinR. Definindo h=c,f,
h(-1)=c,f(-1)=c,f(1)=h(1),
portanto c,fin S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de C[-1,1].

Resposta

O conjunto das funções f em C[-1,1] tais que f(-1)=f(1) é um subespaço de C[-1,1].

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