Um automóvel percorre 3 Km na direção Norte e logo 5 Km na direção Nordeste. Represente geometricamente o deslocamento e calcule o vetor resultante.

Passo 1

O enunciado diz que um automóvel faz primeiro um deslocamento de 3 km em direção Norte e depois 5 km em direção Nordeste. Esse problema é de adição de vetores no plano: vamos representar cada deslocamento como vetor, decompor em componentes cartesianas, somar e encontrar o vetor resultante.

Passo 2

Para representar geometricamente, definimos um sistema de eixos ortogonais com o eixo x (vetor unitário hatimath) apontando para Leste e o eixo y (vetor unitário hatjmath) apontando para Norte.
– O primeiro vetor vec A vai da origem até 3 km no sentido do eixo y.
– A partir da ponta de vec A, desenhamos o segundo vetor vec B de 5 km formando 45^circ em relação ao Norte (isto é, direção Nordeste).
O vetor resultante vec R vai da origem até a ponta de vec B.

Passo 3

Escrevendo cada vetor em componentes:
vec A = 0,hatimath + 3,hatjmath
Como Nordeste é 45^circ em relação aos eixos,
vec B = 5l(cos45^circ,hatimath + sin45^circ,hatjmathr) = 5l(raiz22,hatimath + raiz22,hatjmathr) = 5raiz22,hatimath + 5raiz22,hatjmath
Somando componentes para obter vec R=vec A+vec B:
vec R = l(0+5raiz22r)hatimath + l(3+5raiz22r)hatjmath

Passo 4

Magnitude de vec R:
|vec R| = raizl(tfrac5raiz22r)^2 + l(3+tfrac5raiz22r)^2 approx raiz12,5 + 42,7 approx 7,43 km
Direção de vec R em relação ao eixo x (Leste):
alpha = arctan!l(3+tfrac5raiz22tfrac5raiz22r) approx arctan(1,848)approx 61,9^circ
ou seja, 61,9^circ ao Norte do Leste (ou 28,1^circ ao Leste do Norte).

Resposta

vec R = 5raiz22,hatimath + l(3+5raiz22r)hatjmath(km),
com módulo 7,43 km e direção 61,9^circ acima do eixo Leste.

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